Theorem qusmul2 14549

Description: Value of the ring operation in a quotient ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmul2.h	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qusmul2.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmul2.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmul2.a	⊢ × = (.r‘𝑄)
qusmul2.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
qusmul2.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qusmul2.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
qusmul2.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusmul2	⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem qusmul2

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmul2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		qusmul2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		qusmul2.h	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
5		qusmul2.v	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7		qusmul2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		qusmul2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	2idllidld 14526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	10	lidlsubg 14506	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12	7, 9, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
14	5, 13	eqger 13816	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
15	12, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
16		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17		qusmul2.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	5, 13, 16, 17	2idlcpbl 14544	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
19	7, 8, 18	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
20	5, 17	ringcl 14032	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
21	20	3expb 1230	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
22	7, 21	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
23	22	caovclg 6175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (𝑦 · 𝑡) ∈ 𝐵)
24		qusmul2.a	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑄)
25	4, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24	qusmulval 13425	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))
26	1, 2, 25	mpd3an23 1375	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   Er wer 6699  [cec 6700  Basecbs 13087  ._rcmulr 13166   /_s cqus 13388  SubGrpcsubg 13759   ~_QG cqg 13761  Ringcrg 14015  LIdealclidl 14487  2Idealc2idl 14519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-tpos 6411  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-ip 13183  df-0g 13346  df-iimas 13390  df-qus 13391  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-sbg 13593  df-subg 13762  df-eqg 13764  df-cmn 13878  df-abl 13879  df-mgp 13940  df-rng 13952  df-ur 13979  df-ring 14017  df-oppr 14087  df-subrg 14239  df-lmod 14309  df-lssm 14373  df-sra 14455  df-rgmod 14456  df-lidl 14489  df-2idl 14520

This theorem is referenced by: (None)