ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addsubeq4 GIF version

Theorem addsubeq4 7997
Description: Relation between sums and differences. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
addsubeq4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶𝐴) = (𝐵𝐷)))

Proof of Theorem addsubeq4
StepHypRef Expression
1 eqcom 2142 . . 3 ((𝐶𝐴) = (𝐵𝐷) ↔ (𝐵𝐷) = (𝐶𝐴))
2 subcl 7981 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
32ancoms 266 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
4 subadd 7985 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
543expa 1182 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
65ancoms 266 . . . . 5 (((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
73, 6sylan 281 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
87an4s 578 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵𝐷) = (𝐶𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
91, 8syl5bb 191 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶𝐴) = (𝐵𝐷) ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
10 addcom 7919 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
1110adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
1211oveq1d 5793 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴))
13 addsubass 7992 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
14133com12 1186 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
15143expa 1182 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
1615ancoms 266 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
1712, 16eqtrd 2173 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
1817adantlr 469 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶𝐴)))
1918eqeq1d 2149 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐷 + (𝐶𝐴)) = 𝐵))
20 addcl 7765 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
21 subadd 7985 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
22213expb 1183 . . . 4 (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
2322ancoms 266 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
2420, 23sylan2 284 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
259, 19, 243bitr2rd 216 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶𝐴) = (𝐵𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  (class class class)co 5778  cc 7638   + caddc 7643  cmin 7953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-setind 4456  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-sub 7955
This theorem is referenced by:  subcan  8037  addsubeq4d  8144
  Copyright terms: Public domain W3C validator