Theorem assa2ass 15009

Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.) (Proof shortened by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assa2ass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m	⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
assa2ass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assa2ass.t	⊢ × = (.r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
assa2ass	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4		assalmod 15006	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		assa2ass.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		assa2ass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		assa2ass.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		assa2ass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 14641	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12	4, 5, 6, 11	syl3an 1320	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	13	3ad2ant3 1051	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		assa2ass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
16	7, 8, 10, 9, 15	assaassr 15005	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
17	1, 3, 12, 14, 16	syl13anc 1280	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
18	7, 8, 10, 9, 15	assaass 15004	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
19	18	eqcomd 2244	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
20	1, 3, 12, 14, 19	syl13anc 1280	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
21	4	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	5	3ad2ant2 1050	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
23	6	3ad2ant3 1051	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		assa2ass.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
25	7, 8, 9, 10, 24	lmodvsass 14650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) = (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)))
26	25	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋))
27	26	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
28	21, 3, 22, 23, 27	syl13anc 1280	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
29	8	assasca 15008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
30	29	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
31	2	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
32	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
33	10, 24, 30, 31, 32	ringcld 14322	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
34	33	3adant3 1048	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
35	7, 8, 10, 9, 15	assaass 15004	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
36	1, 34, 23, 14, 35	syl13anc 1280	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
37	28, 36	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
38	17, 20, 37	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13352  ._rcmulr 13432  Scalarcsca 13434   ·_𝑠 cvsca 13435  Ringcrg 14300  LModclmod 14623  AssAlgcasa 14996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-mgp 14218  df-ring 14302  df-lmod 14625  df-assa 14999

This theorem is used by: (None)