Theorem addltmul 9114

Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
addltmul	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem addltmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8948	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 7919	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		ltsub1 8377	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
4	1, 2, 3	mp3an13 1323	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
5		2m1e1 8996	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
6	5	breq1i 3996	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1))
7	4, 6	bitrdi 195	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
8		ltsub1 8377	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
9	1, 2, 8	mp3an13 1323	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
10	5	breq1i 3996	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1))
11	9, 10	bitrdi 195	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
12	7, 11	bi2anan9 601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) ↔ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))))
13		peano2rem 8186	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
14		peano2rem 8186	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
15		mulgt1 8779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
16	15	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
17	13, 14, 16	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
18	12, 17	sylbid 149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
19		recn 7907	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
20		recn 7907	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 7867	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		mulsub 8320	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
23	21, 22	mpanl2 433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
24	21, 23	mpanr2 436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
25	19, 20, 24	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
26	25	breq2d 4001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
27		remulcl 7902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
28	2, 27	mpan2 423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
29		remulcl 7902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 · 1) ∈ ℝ)
30	2, 29	mpan2 423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) ∈ ℝ)
31		readdcl 7900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ)
32	28, 30, 31	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ)
33		remulcl 7902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
34	2, 2	remulcli 7934	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) ∈ ℝ
35		readdcl 7900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 · 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ)
36	33, 34, 35	sylancl 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ)
37		ltaddsub2 8356	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
38	2, 37	mp3an2 1320	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
39	32, 36, 38	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
40		1t1e1 9030	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
41	40	oveq2i 5864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1)
42	41	breq2i 3997	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))
43	39, 42	bitr3di 194	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
44		ltadd1 8348	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
45	2, 44	mp3an3 1321	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
46	32, 33, 45	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
47		ax-1rid 7881	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
48		ax-1rid 7881	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
49	47, 48	oveqan12d 5872	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵))
50	49	breq1d 3999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
51	46, 50	bitr3d 189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
52	26, 43, 51	3bitrd 213	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
53	18, 52	sylibd 148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
54	53	imp 123	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   − cmin 8090  2c2 8929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-sub 8092  df-neg 8093  df-2 8937

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