Theorem addltmul 8588

Description: Sum is less than product for numbers greater than 2. (Contributed by Stefan Allan, 24-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
addltmul	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem addltmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8430	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1re 7434	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		ltsub1 7883	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
4	1, 2, 3	mp3an13 1262	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
5		2m1e1 8477	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
6	5	breq1i 3829	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1))
7	4, 6	syl6bb 194	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
8		ltsub1 7883	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
9	1, 2, 8	mp3an13 1262	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
10	5	breq1i 3829	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1))
11	9, 10	syl6bb 194	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
12	7, 11	bi2anan9 571	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) ↔ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))))
13		peano2rem 7696	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
14		peano2rem 7696	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
15		mulgt1 8262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
16	15	ex 113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
17	13, 14, 16	syl2an 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
18	12, 17	sylbid 148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
19		recn 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
20		recn 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 7385	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		mulsub 7826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
23	21, 22	mpanl2 426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
24	21, 23	mpanr2 429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
25	19, 20, 24	syl2an 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
26	25	breq2d 3834	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
27		1t1e1 8505	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
28	27	oveq2i 5626	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) = ((𝐴 · 𝐵) + 1)
29	28	breq2i 3830	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1))
30		remulcl 7417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
31	2, 30	mpan2 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
32		remulcl 7417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 · 1) ∈ ℝ)
33	2, 32	mpan2 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) ∈ ℝ)
34		readdcl 7415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ)
35	31, 33, 34	syl2an 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ)
36		remulcl 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
37	2, 2	remulcli 7449	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) ∈ ℝ
38		readdcl 7415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 · 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancl 404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ)
40		ltaddsub2 7862	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
41	2, 40	mp3an2 1259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
42	35, 39, 41	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
43	29, 42	syl5rbbr 193	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
44		ltadd1 7854	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
45	2, 44	mp3an3 1260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
46	35, 36, 45	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
47		ax-1rid 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
48		ax-1rid 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
49	47, 48	oveqan12d 5634	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (𝐴 + 𝐵))
50	49	breq1d 3832	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) < (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
51	46, 50	bitr3d 188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
52	26, 43, 51	3bitrd 212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
53	18, 52	sylibd 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
54	53	imp 122	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1287   ∈ wcel 1436   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615  ℂcc 7295  ℝcr 7296  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302   < clt 7469   − cmin 7600  2c2 8410

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-ltxr 7474  df-sub 7602  df-neg 7603  df-2 8419

This theorem is referenced by: (None)