ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xlt0neg1 GIF version

Theorem xlt0neg1 9867
Description: Extended real version of lt0neg1 8454. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlt0neg1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xlt0neg1
StepHypRef Expression
1 0xr 8033 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 xltneg 9865 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 0 ↔ -𝑒0 < -𝑒𝐴))
31, 2mpan2 425 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ -𝑒0 < -𝑒𝐴))
4 xneg0 9860 . . 3 -𝑒0 = 0
54breq1i 4025 . 2 (-𝑒0 < -𝑒𝐴 ↔ 0 < -𝑒𝐴)
63, 5bitrdi 196 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  wcel 2160   class class class wbr 4018  0cc0 7840  *cxr 8020   < clt 8021  -𝑒cxne 9798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-sub 8159  df-neg 8160  df-xneg 9801
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator