Theorem nn0o1gt2 11864

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9137	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnnn0c 9180	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
3		1z 9238	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		nn0z 9232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		zleloe 9259	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
6	3, 4, 5	sylancr 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁)))
7		1zzd 9239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
8		zltp1le 9266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
9	7, 4, 8	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
10		1p1e2 8995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
11	10	breq1i 3996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁)
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
13		2z 9240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		zleloe 9259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
15	13, 4, 14	sylancr 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
16	9, 12, 15	3bitrd 213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
17		olc 706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
18	17	2a1d 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
19		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 + 1) = (2 + 1))
20	19	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 2 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
21	20	eqcoms 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 = 𝑁 → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = ((2 + 1) / 2))
23		2p1e3 9011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 + 1) / 2) = (3 / 2)
25	22, 24	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) = (3 / 2))
26	25	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (3 / 2) ∈ ℕ0))
27		3halfnz 9309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (3 / 2) ∈ ℤ
28		nn0z 9232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (3 / 2) ∈ ℤ)
29	28	pm2.24d 617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (3 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
30	27, 29	mpi 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
31	26, 30	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
32	31	expcom 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
33	18, 32	jaoi 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
35	16, 34	sylbid 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
36	35	com12 30	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
37		orc 707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
38	37	eqcoms 2173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
39	38	2a1d 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
40	36, 39	jaoi 711	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
41	40	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 < 𝑁 ∨ 1 = 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
42	6, 41	sylbid 149	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
43	42	imp 123	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
44	2, 43	sylbi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
45		oveq1 5860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
46		0p1e1 8992	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
47	45, 46	eqtrdi 2219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
48	47	oveq1d 5868	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) / 2) = (1 / 2))
49	48	eleq1d 2239	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (1 / 2) ∈ ℕ0))
50		halfnz 9308	. . . . . 6 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
51		nn0z 9232	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℤ)
52	51	pm2.24d 617	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
53	50, 52	mpi 15	. . . . 5 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
54	49, 53	syl6bi 162	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
55	44, 54	jaoi 711	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
56	1, 55	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
57	56	imp 123	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   ≤ cle 7955   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  3c3 8930  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  nno  11865  nn0o  11866