Theorem sincosq3sgn 15415

Description: The signs of the sine and cosine functions in the third quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq3sgn	⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Proof of Theorem sincosq3sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 15373	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
2		3re 9145	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
3		halfpire 15379	. . . 4 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 8121	. . 3 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
5		rexr 8153	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
6		rexr 8153	. . . 4 ⊢ ((3 · (π / 2)) ∈ ℝ → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*)
7		elioo2 10078	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
9	1, 4, 8	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
10		pidiv2halves 15382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
11	10	breq1i 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < 𝐴)
12		ltaddsub 8544	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
13	3, 3, 12	mp3an12 1340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
14	11, 13	bitr3id 194	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
15		ltsubadd 8540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < π ↔ 𝐴 < (π + (π / 2))))
16	3, 1, 15	mp3an23 1342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < π ↔ 𝐴 < (π + (π / 2))))
17		df-3 9131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	17	oveq1i 5977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
19		2cn 9142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		ax-1cn 8053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	3	recni 8119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
22	19, 20, 21	adddiri 8118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
23	1	recni 8119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
24		2ap0 9164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
25	23, 19, 24	divcanap2i 8863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
26	21	mullidi 8110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
27	25, 26	oveq12i 5979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
28	18, 22, 27	3eqtrri 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
29	28	breq2i 4067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < (π + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (3 · (π / 2)))
30	16, 29	bitr2di 197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (3 · (π / 2)) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < π))
31	14, 30	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) ↔ ((π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
32		resubcl 8371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
33	3, 32	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
34		sincosq2sgn 15414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
35		rexr 8153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
36		elioo2 10078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
37	35, 5, 36	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
38	3, 1, 37	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π))
39		ancom 266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
40	34, 38, 39	3imtr3i 200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
41	33, 40	syl3an1 1283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
42	41	3expib 1209	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))))))
43	31, 42	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))))))
44	33	resincld 12149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
45	44	lt0neg2d 8624	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
46	45	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
47	43, 46	sylibd 149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
48		recn 8093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
49		pncan3 8315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
50	21, 48, 49	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
51	50	fveq2d 5603	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
52	33	recnd 8136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
53		sinhalfpip 15407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
54	52, 53	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
55	51, 54	eqtr3d 2242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
56	55	breq1d 4069	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
57	50	fveq2d 5603	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
58		coshalfpip 15409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
59	52, 58	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
60	57, 59	eqtr3d 2242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
61	60	breq1d 4069	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) < 0 ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
62	56, 61	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
63	47, 62	sylibrd 169	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0)))
64	63	3impib 1204	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))
65	9, 64	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  ℝcr 7959  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   · cmul 7965  ℝ^*cxr 8141   < clt 8142   − cmin 8278  -cneg 8279   / cdiv 8780  2c2 9122  3c3 9123  (,)cioo 10045  sincsin 12070  cosccos 12071  πcpi 12073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-pre-suploc 8081  ax-addf 8082  ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-disj 4036  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-map 6760  df-pm 6761  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-ioo 10049  df-ioc 10050  df-ico 10051  df-icc 10052  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-fac 10908  df-bc 10930  df-ihash 10958  df-shft 11241  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780  df-ef 12074  df-sin 12076  df-cos 12077  df-pi 12079  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-ntr 14683  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-tx 14840  df-cncf 15158  df-limced 15243  df-dvap 15244

This theorem is referenced by:  sincosq4sgn  15416