ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq3sgn GIF version

Theorem sincosq3sgn 14288
Description: The signs of the sine and cosine functions in the third quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq3sgn (𝐴 ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ (cosβ€˜π΄) < 0))

Proof of Theorem sincosq3sgn
StepHypRef Expression
1 pire 14246 . . 3 Ο€ ∈ ℝ
2 3re 8995 . . . 4 3 ∈ ℝ
3 halfpire 14252 . . . 4 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
42, 3remulcli 7973 . . 3 (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ
5 rexr 8005 . . . 4 (Ο€ ∈ ℝ β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
6 rexr 8005 . . . 4 ((3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ β†’ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*)
7 elioo2 9923 . . . 4 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
85, 6, 7syl2an 289 . . 3 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
91, 4, 8mp2an 426 . 2 (𝐴 ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2))))
10 pidiv2halves 14255 . . . . . . . . 9 ((Ο€ / 2) + (Ο€ / 2)) = Ο€
1110breq1i 4012 . . . . . . . 8 (((Ο€ / 2) + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < 𝐴)
12 ltaddsub 8395 . . . . . . . . 9 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (((Ο€ / 2) + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ (Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
133, 3, 12mp3an12 1327 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((Ο€ / 2) + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ (Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
1411, 13bitr3id 194 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Ο€ < 𝐴 ↔ (Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
15 ltsubadd 8391 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€ ↔ 𝐴 < (Ο€ + (Ο€ / 2))))
163, 1, 15mp3an23 1329 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€ ↔ 𝐴 < (Ο€ + (Ο€ / 2))))
17 df-3 8981 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
1817oveq1i 5887 . . . . . . . . . 10 (3 Β· (Ο€ / 2)) = ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2))
19 2cn 8992 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
20 ax-1cn 7906 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
213recni 7971 . . . . . . . . . . 11 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
2219, 20, 21adddiri 7970 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2)) = ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2)))
231recni 7971 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ β„‚
24 2ap0 9014 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
2523, 19, 24divcanap2i 8714 . . . . . . . . . . 11 (2 Β· (Ο€ / 2)) = Ο€
2621mullidi 7962 . . . . . . . . . . 11 (1 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
2725, 26oveq12i 5889 . . . . . . . . . 10 ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2))) = (Ο€ + (Ο€ / 2))
2818, 22, 273eqtrri 2203 . . . . . . . . 9 (Ο€ + (Ο€ / 2)) = (3 Β· (Ο€ / 2))
2928breq2i 4013 . . . . . . . 8 (𝐴 < (Ο€ + (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2)))
3016, 29bitr2di 197 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2)) ↔ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€))
3114, 30anbi12d 473 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ ((Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€)))
32 resubcl 8223 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
333, 32mpan2 425 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
34 sincosq2sgn 14287 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ((Ο€ / 2)(,)Ο€) β†’ (0 < (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
35 rexr 8005 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ / 2) ∈ ℝ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ*)
36 elioo2 9923 . . . . . . . . . . 11 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ((Ο€ / 2)(,)Ο€) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€)))
3735, 5, 36syl2an 289 . . . . . . . . . 10 (((Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ((Ο€ / 2)(,)Ο€) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€)))
383, 1, 37mp2an 426 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ((Ο€ / 2)(,)Ο€) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€))
39 ancom 266 . . . . . . . . 9 ((0 < (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0) ↔ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ 0 < (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
4034, 38, 393imtr3i 200 . . . . . . . 8 (((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ 0 < (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
4133, 40syl3an1 1271 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ 0 < (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
42413expib 1206 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((Ο€ / 2) < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < Ο€) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ 0 < (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))))
4331, 42sylbid 150 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ 0 < (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))))
4433resincld 11733 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∈ ℝ)
4544lt0neg2d 8475 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 < (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ↔ -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
4645anbi2d 464 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ 0 < (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) ↔ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
4743, 46sylibd 149 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
48 recn 7946 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
49 pncan3 8167 . . . . . . . . 9 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
5021, 48, 49sylancr 414 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
5150fveq2d 5521 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (sinβ€˜π΄))
5233recnd 7988 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚)
53 sinhalfpip 14280 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
5452, 53syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
5551, 54eqtr3d 2212 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
5655breq1d 4015 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ↔ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
5750fveq2d 5521 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜π΄))
58 coshalfpip 14282 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
5952, 58syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6057, 59eqtr3d 2212 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6160breq1d 4015 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄) < 0 ↔ -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
6256, 61anbi12d 473 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ (cosβ€˜π΄) < 0) ↔ ((cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
6347, 62sylibrd 169 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ (cosβ€˜π΄) < 0)))
64633impib 1201 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ (cosβ€˜π΄) < 0))
659, 64sylbi 121 1 (𝐴 ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ (cosβ€˜π΄) < 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   Β· cmul 7818  β„*cxr 7993   < clt 7994   βˆ’ cmin 8130  -cneg 8131   / cdiv 8631  2c2 8972  3c3 8973  (,)cioo 9890  sincsin 11654  cosccos 11655  Ο€cpi 11657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-pre-suploc 7934  ax-addf 7935  ax-mulf 7936
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-map 6652  df-pm 6653  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-ioo 9894  df-ioc 9895  df-ico 9896  df-icc 9897  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-bc 10730  df-ihash 10758  df-shft 10826  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364  df-ef 11658  df-sin 11660  df-cos 11661  df-pi 11663  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13486  df-xmet 13487  df-met 13488  df-bl 13489  df-mopn 13490  df-top 13537  df-topon 13550  df-bases 13582  df-ntr 13635  df-cn 13727  df-cnp 13728  df-tx 13792  df-cncf 14097  df-limced 14164  df-dvap 14165
This theorem is referenced by:  sincosq4sgn  14289
  Copyright terms: Public domain W3C validator