ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq3sgn GIF version

Theorem sincosq3sgn 12922
Description: The signs of the sine and cosine functions in the third quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq3sgn (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Proof of Theorem sincosq3sgn
StepHypRef Expression
1 pire 12880 . . 3 π ∈ ℝ
2 3re 8801 . . . 4 3 ∈ ℝ
3 halfpire 12886 . . . 4 (π / 2) ∈ ℝ
42, 3remulcli 7787 . . 3 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
5 rexr 7818 . . . 4 (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
6 rexr 7818 . . . 4 ((3 · (π / 2)) ∈ ℝ → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*)
7 elioo2 9711 . . . 4 ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
85, 6, 7syl2an 287 . . 3 ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
91, 4, 8mp2an 422 . 2 (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))))
10 pidiv2halves 12889 . . . . . . . . 9 ((π / 2) + (π / 2)) = π
1110breq1i 3936 . . . . . . . 8 (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < 𝐴)
12 ltaddsub 8205 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
133, 3, 12mp3an12 1305 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
1411, 13bitr3id 193 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (π < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
15 ltsubadd 8201 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < π ↔ 𝐴 < (π + (π / 2))))
163, 1, 15mp3an23 1307 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < π ↔ 𝐴 < (π + (π / 2))))
17 df-3 8787 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
1817oveq1i 5784 . . . . . . . . . 10 (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
19 2cn 8798 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
20 ax-1cn 7720 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
213recni 7785 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℂ
2219, 20, 21adddiri 7784 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
231recni 7785 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
24 2ap0 8820 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
2523, 19, 24divcanap2i 8522 . . . . . . . . . . 11 (2 · (π / 2)) = π
2621mulid2i 7776 . . . . . . . . . . 11 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2725, 26oveq12i 5786 . . . . . . . . . 10 ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
2818, 22, 273eqtrri 2165 . . . . . . . . 9 (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
2928breq2i 3937 . . . . . . . 8 (𝐴 < (π + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (3 · (π / 2)))
3016, 29syl6rbb 196 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (3 · (π / 2)) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < π))
3114, 30anbi12d 464 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) ↔ ((π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
32 resubcl 8033 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
333, 32mpan2 421 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
34 sincosq2sgn 12921 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
35 rexr 7818 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
36 elioo2 9711 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
3735, 5, 36syl2an 287 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
383, 1, 37mp2an 422 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π))
39 ancom 264 . . . . . . . . 9 ((0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
4034, 38, 393imtr3i 199 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
4133, 40syl3an1 1249 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
42413expib 1184 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))))))
4331, 42sylbid 149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))))))
4433resincld 11437 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
4544lt0neg2d 8285 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
4645anbi2d 459 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
4743, 46sylibd 148 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
48 recn 7760 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
49 pncan3 7977 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
5021, 48, 49sylancr 410 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
5150fveq2d 5425 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
5233recnd 7801 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
53 sinhalfpip 12914 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
5452, 53syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
5551, 54eqtr3d 2174 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
5655breq1d 3939 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5750fveq2d 5425 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
58 coshalfpip 12916 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
5952, 58syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6057, 59eqtr3d 2174 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6160breq1d 3939 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) < 0 ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
6256, 61anbi12d 464 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
6347, 62sylibrd 168 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0)))
64633impib 1179 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))
659, 64sylbi 120 1 (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632  *cxr 7806   < clt 7807  cmin 7940  -cneg 7941   / cdiv 8439  2c2 8778  3c3 8779  (,)cioo 9678  sincsin 11357  cosccos 11358  πcpi 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by:  sincosq4sgn  12923
  Copyright terms: Public domain W3C validator