ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq3sgn GIF version

Theorem sincosq3sgn 13543
Description: The signs of the sine and cosine functions in the third quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq3sgn (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Proof of Theorem sincosq3sgn
StepHypRef Expression
1 pire 13501 . . 3 π ∈ ℝ
2 3re 8952 . . . 4 3 ∈ ℝ
3 halfpire 13507 . . . 4 (π / 2) ∈ ℝ
42, 3remulcli 7934 . . 3 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
5 rexr 7965 . . . 4 (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
6 rexr 7965 . . . 4 ((3 · (π / 2)) ∈ ℝ → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*)
7 elioo2 9878 . . . 4 ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
85, 6, 7syl2an 287 . . 3 ((π ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2)))))
91, 4, 8mp2an 424 . 2 (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))))
10 pidiv2halves 13510 . . . . . . . . 9 ((π / 2) + (π / 2)) = π
1110breq1i 3996 . . . . . . . 8 (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < 𝐴)
12 ltaddsub 8355 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
133, 3, 12mp3an12 1322 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
1411, 13bitr3id 193 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (π < 𝐴 ↔ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2))))
15 ltsubadd 8351 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < π ↔ 𝐴 < (π + (π / 2))))
163, 1, 15mp3an23 1324 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < π ↔ 𝐴 < (π + (π / 2))))
17 df-3 8938 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
1817oveq1i 5863 . . . . . . . . . 10 (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
19 2cn 8949 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
20 ax-1cn 7867 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
213recni 7932 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℂ
2219, 20, 21adddiri 7931 . . . . . . . . . 10 ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
231recni 7932 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
24 2ap0 8971 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
2523, 19, 24divcanap2i 8672 . . . . . . . . . . 11 (2 · (π / 2)) = π
2621mulid2i 7923 . . . . . . . . . . 11 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2725, 26oveq12i 5865 . . . . . . . . . 10 ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
2818, 22, 273eqtrri 2196 . . . . . . . . 9 (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
2928breq2i 3997 . . . . . . . 8 (𝐴 < (π + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (3 · (π / 2)))
3016, 29bitr2di 196 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (3 · (π / 2)) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < π))
3114, 30anbi12d 470 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) ↔ ((π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
32 resubcl 8183 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
333, 32mpan2 423 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
34 sincosq2sgn 13542 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
35 rexr 7965 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
36 elioo2 9878 . . . . . . . . . . 11 (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
3735, 5, 36syl2an 287 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π)))
383, 1, 37mp2an 424 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π))
39 ancom 264 . . . . . . . . 9 ((0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
4034, 38, 393imtr3i 199 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
4133, 40syl3an1 1266 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
42413expib 1201 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < π) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))))))
4331, 42sylbid 149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))))))
4433resincld 11686 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
4544lt0neg2d 8435 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
4645anbi2d 461 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2)))) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
4743, 46sylibd 148 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
48 recn 7907 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
49 pncan3 8127 . . . . . . . . 9 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
5021, 48, 49sylancr 412 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
5150fveq2d 5500 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
5233recnd 7948 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
53 sinhalfpip 13535 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
5452, 53syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
5551, 54eqtr3d 2205 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
5655breq1d 3999 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5750fveq2d 5500 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
58 coshalfpip 13537 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
5952, 58syl 14 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6057, 59eqtr3d 2205 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6160breq1d 3999 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) < 0 ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
6256, 61anbi12d 470 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0) ↔ ((cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
6347, 62sylibrd 168 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0)))
64633impib 1196 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < 𝐴𝐴 < (3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))
659, 64sylbi 120 1 (𝐴 ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ (cos‘𝐴) < 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  cr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  *cxr 7953   < clt 7954  cmin 8090  -cneg 8091   / cdiv 8589  2c2 8929  3c3 8930  (,)cioo 9845  sincsin 11607  cosccos 11608  πcpi 11610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614  df-pi 11616  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420
This theorem is referenced by:  sincosq4sgn  13544
  Copyright terms: Public domain W3C validator