ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axprecex GIF version

Theorem axprecex 7878
Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 7920.

In treatments which assume excluded middle, the 0 <โ„ ๐ด condition is generally replaced by ๐ด โ‰  0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axprecex ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 <โ„ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem axprecex
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7826 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด)
2 df-rex 2461 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ R โˆง โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด))
31, 2bitri 184 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ R โˆง โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด))
4 breq2 4007 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” 0 <โ„ ๐ด))
5 oveq1 5881 . . . . . . 7 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘ฅ))
65eqeq1d 2186 . . . . . 6 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
76anbi2d 464 . . . . 5 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1) โ†” (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)))
87rexbidv 2478 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)))
94, 8imbi12d 234 . . 3 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†” (0 <โ„ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))))
10 df-0 7817 . . . . . 6 0 = โŸจ0R, 0RโŸฉ
1110breq1i 4010 . . . . 5 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)
12 ltresr 7837 . . . . 5 (โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฆ)
1311, 12bitri 184 . . . 4 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฆ)
14 recexgt0sr 7771 . . . . 5 (0R <R ๐‘ฆ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ R (0R <R ๐‘ง โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R))
15 opelreal 7825 . . . . . . . . . 10 (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ง โˆˆ R)
1615anbi1i 458 . . . . . . . . 9 ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1)) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง (0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1)))
1710breq1i 4010 . . . . . . . . . . . . 13 (0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†” โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ)
18 ltresr 7837 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ง)
1917, 18bitri 184 . . . . . . . . . . . 12 (0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ง)
2019a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ (0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ง))
21 mulresr 7836 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ)
2221eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1 โ†” โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = 1))
23 df-1 7818 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = โŸจ1R, 0RโŸฉ
2423eqeq2i 2188 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = 1 โ†” โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = โŸจ1R, 0RโŸฉ)
25 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 0R = 0R
26 1sr 7749 . . . . . . . . . . . . . . 15 1R โˆˆ R
27 0r 7748 . . . . . . . . . . . . . . 15 0R โˆˆ R
28 opthg2 4239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1R โˆˆ R โˆง 0R โˆˆ R) โ†’ (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = โŸจ1R, 0RโŸฉ โ†” ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R โˆง 0R = 0R)))
2926, 27, 28mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = โŸจ1R, 0RโŸฉ โ†” ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R โˆง 0R = 0R))
3025, 29mpbiran2 941 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = โŸจ1R, 0RโŸฉ โ†” (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)
3124, 30bitri 184 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ(๐‘ฆ ยทR ๐‘ง), 0RโŸฉ = 1 โ†” (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)
3222, 31bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1 โ†” (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R))
3320, 32anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ ((0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1) โ†” (0R <R ๐‘ง โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)))
3433pm5.32da 452 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ ((๐‘ง โˆˆ R โˆง (0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1)) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง (0R <R ๐‘ง โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R))))
3516, 34bitrid 192 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1)) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง (0R <R ๐‘ง โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R))))
36 breq2 4007 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ (0 <โ„ ๐‘ฅ โ†” 0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ))
37 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ))
3837eqeq1d 2186 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ ((โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1))
3936, 38anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ ((0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1) โ†” (0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1)))
4039rspcev 2841 . . . . . . . 8 ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (0 <โ„ โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))
4135, 40syl6bir 164 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ ((๐‘ง โˆˆ R โˆง (0R <R ๐‘ง โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1)))
4241expd 258 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (๐‘ง โˆˆ R โ†’ ((0R <R ๐‘ง โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1))))
4342rexlimdv 2593 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ R (0R <R ๐‘ง โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) = 1R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1)))
4414, 43syl5 32 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (0R <R ๐‘ฆ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1)))
4513, 44biimtrid 152 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ R โ†’ (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = 1)))
463, 9, 45gencl 2769 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 <โ„ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)))
4746imp 124 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 <โ„ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 <โ„ ๐‘ฅ โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  โŸจcop 3595   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  Rcnr 7295  0Rc0r 7296  1Rc1r 7297   ยทR cmr 7300   <R cltr 7301  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   <โ„ cltrr 7814   ยท cmul 7815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-iplp 7466  df-imp 7467  df-iltp 7468  df-enr 7724  df-nr 7725  df-plr 7726  df-mr 7727  df-ltr 7728  df-0r 7729  df-1r 7730  df-m1r 7731  df-c 7816  df-0 7817  df-1 7818  df-r 7820  df-mul 7822  df-lt 7823
This theorem is referenced by:  rereceu  7887  recriota  7888
  Copyright terms: Public domain W3C validator