Theorem sincosq4sgn 15930

Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq4sgn	⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem sincosq4sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9378	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		halfpire 15893	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
3	1, 2	remulcli 8340	. . . 4 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
4	3	rexri 8383	. . 3 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
5		2re 9374	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 15887	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 8340	. . . 4 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
8	7	rexri 8383	. . 3 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
9		elioo2 10323	. . 3 ⊢ (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
10	4, 8, 9	mp2an 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
11		df-3 9364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
12	11	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
13		2cn 9375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	2	recni 8338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16	13, 14, 15	adddiri 8337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
17	6	recni 8338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
18		2ap0 9397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 # 0
19	17, 13, 18	divcanap2i 9085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
20	15	mullidi 8329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
21	19, 20	oveq12i 6097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
22	12, 16, 21	3eqtrri 2264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
23	22	breq1i 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (3 · (π / 2)) < 𝐴)
24		ltaddsub 8764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
25	6, 2, 24	mp3an12 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
26	23, 25	bitr3id 194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
27		ltsubadd 8760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
28	2, 3, 27	mp3an23 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29		df-4 9365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
30	29	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
31	1	recni 8338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31, 14, 15	adddiri 8337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
33	20	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
34	30, 32, 33	3eqtrri 2264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
35		4cn 9382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
36	13, 18	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
37		div12ap 9024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
38	35, 17, 36, 37	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
39		4d2e2 9465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 2) = 2
40	39	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · (4 / 2)) = (π · 2)
41	17, 13	mulcomi 8332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · 2) = (2 · π)
42	40, 41	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π · (4 / 2)) = (2 · π)
43	38, 42	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · (π / 2)) = (2 · π)
44	34, 43	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
45	44	breq2i 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (2 · π))
46	28, 45	bitr2di 197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (2 · π) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
47	26, 46	anbi12d 477	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) ↔ (π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
48		resubcl 8590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
49	2, 48	mpan2 429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
50	6	rexri 8383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ*
51		elioo2 10323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
52	50, 4, 51	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53		sincosq3sgn 15929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
54	52, 53	sylbir 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
55	49, 54	syl3an1 1311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
56	55	3expib 1237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
57	47, 56	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
58	49	resincld 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
59	58	lt0neg1d 8843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
60	59	anbi1d 469	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
61	57, 60	sylibd 149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
62		recn 8312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
63		pncan3 8534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
64	15, 62, 63	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
65	64	fveq2d 5699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
66	49	recnd 8354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
67		coshalfpip 15923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
69	65, 68	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
70	69	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (cos‘𝐴) ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
71	64	fveq2d 5699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
72		sinhalfpip 15921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
73	66, 72	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
74	71, 73	eqtr3d 2273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
75	74	breq1d 4140	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
76	70, 75	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
77	61, 76	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0)))
78	77	3impib 1232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0))
79	78	ancomd 267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
80	10, 79	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360   − cmin 8497  -cneg 8498   # cap 8909   / cdiv 9002  2c2 9355  3c3 9356  4c4 9357  (,)cioo 10290  sincsin 12411  cosccos 12412  πcpi 12414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-ioo 10294  df-ioc 10295  df-ico 10296  df-icc 10297  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215  df-shft 11580  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415  df-sin 12417  df-cos 12418  df-pi 12420  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758

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