ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq4sgn GIF version

Theorem sincosq4sgn 14477
Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq4sgn (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))

Proof of Theorem sincosq4sgn
StepHypRef Expression
1 3re 9006 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 halfpire 14440 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
31, 2remulcli 7984 . . . 4 (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ
43rexri 8028 . . 3 (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*
5 2re 9002 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 pire 14434 . . . . 5 Ο€ ∈ ℝ
75, 6remulcli 7984 . . . 4 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
87rexri 8028 . . 3 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*
9 elioo2 9934 . . 3 (((3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€))))
104, 8, 9mp2an 426 . 2 (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)))
11 df-3 8992 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
1211oveq1i 5898 . . . . . . . . . . 11 (3 Β· (Ο€ / 2)) = ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2))
13 2cn 9003 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
14 ax-1cn 7917 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
152recni 7982 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
1613, 14, 15adddiri 7981 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2)) = ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2)))
176recni 7982 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
18 2ap0 9025 . . . . . . . . . . . . 13 2 # 0
1917, 13, 18divcanap2i 8725 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· (Ο€ / 2)) = Ο€
2015mullidi 7973 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
2119, 20oveq12i 5900 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2))) = (Ο€ + (Ο€ / 2))
2212, 16, 213eqtrri 2213 . . . . . . . . . 10 (Ο€ + (Ο€ / 2)) = (3 Β· (Ο€ / 2))
2322breq1i 4022 . . . . . . . . 9 ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴)
24 ltaddsub 8406 . . . . . . . . . 10 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
256, 2, 24mp3an12 1337 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
2623, 25bitr3id 194 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
27 ltsubadd 8402 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))))
282, 3, 27mp3an23 1339 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))))
29 df-4 8993 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
3029oveq1i 5898 . . . . . . . . . . . 12 (4 Β· (Ο€ / 2)) = ((3 + 1) Β· (Ο€ / 2))
311recni 7982 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„‚
3231, 14, 15adddiri 7981 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) Β· (Ο€ / 2)) = ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2)))
3320oveq2i 5899 . . . . . . . . . . . 12 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2))) = ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))
3430, 32, 333eqtrri 2213 . . . . . . . . . . 11 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) = (4 Β· (Ο€ / 2))
35 4cn 9010 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ β„‚
3613, 18pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 # 0)
37 div12ap 8664 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 # 0)) β†’ (4 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ Β· (4 / 2)))
3835, 17, 36, 37mp3an 1347 . . . . . . . . . . . 12 (4 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ Β· (4 / 2))
39 4d2e2 9092 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 2) = 2
4039oveq2i 5899 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· (4 / 2)) = (Ο€ Β· 2)
4117, 13mulcomi 7976 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· 2) = (2 Β· Ο€)
4240, 41eqtri 2208 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ Β· (4 / 2)) = (2 Β· Ο€)
4338, 42eqtri 2208 . . . . . . . . . . 11 (4 Β· (Ο€ / 2)) = (2 Β· Ο€)
4434, 43eqtri 2208 . . . . . . . . . 10 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) = (2 Β· Ο€)
4544breq2i 4023 . . . . . . . . 9 (𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < (2 Β· Ο€))
4628, 45bitr2di 197 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < (2 Β· Ο€) ↔ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))))
4726, 46anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) ↔ (Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
48 resubcl 8234 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
492, 48mpan2 425 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
506rexri 8028 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ ℝ*
51 elioo2 9934 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
5250, 4, 51mp2an 426 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))))
53 sincosq3sgn 14476 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
5452, 53sylbir 135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
5549, 54syl3an1 1281 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
56553expib 1207 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
5747, 56sylbid 150 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
5849resincld 11744 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∈ ℝ)
5958lt0neg1d 8485 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
6059anbi1d 465 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
6157, 60sylibd 149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
62 recn 7957 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
63 pncan3 8178 . . . . . . . . . 10 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
6415, 62, 63sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
6564fveq2d 5531 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜π΄))
6649recnd 7999 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚)
67 coshalfpip 14470 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6866, 67syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6965, 68eqtr3d 2222 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7069breq2d 4027 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ↔ 0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
7164fveq2d 5531 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (sinβ€˜π΄))
72 sinhalfpip 14468 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7366, 72syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7471, 73eqtr3d 2222 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7574breq1d 4025 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ↔ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
7670, 75anbi12d 473 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0) ↔ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
7761, 76sylibrd 169 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0)))
78773impib 1202 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0))
7978ancomd 267 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
8010, 79sylbi 121 1 (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„‚cc 7822  β„cr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   Β· cmul 7829  β„*cxr 8004   < clt 8005   βˆ’ cmin 8141  -cneg 8142   # cap 8551   / cdiv 8642  2c2 8983  3c3 8984  4c4 8985  (,)cioo 9901  sincsin 11665  cosccos 11666  Ο€cpi 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944  ax-pre-suploc 7945  ax-addf 7946  ax-mulf 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6096  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-map 6663  df-pm 6664  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-7 8996  df-8 8997  df-9 8998  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-ioo 9905  df-ioc 9906  df-ico 9907  df-icc 9908  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-fac 10719  df-bc 10741  df-ihash 10769  df-shft 10837  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375  df-ef 11669  df-sin 11671  df-cos 11672  df-pi 11674  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13660  df-xmet 13661  df-met 13662  df-bl 13663  df-mopn 13664  df-top 13725  df-topon 13738  df-bases 13770  df-ntr 13823  df-cn 13915  df-cnp 13916  df-tx 13980  df-cncf 14285  df-limced 14352  df-dvap 14353
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator