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Theorem sincosq4sgn 13917
Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq4sgn (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem sincosq4sgn
StepHypRef Expression
1 3re 8982 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 halfpire 13880 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
31, 2remulcli 7962 . . . 4 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
43rexri 8005 . . 3 (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
5 2re 8978 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 pire 13874 . . . . 5 π ∈ ℝ
75, 6remulcli 7962 . . . 4 (2 · π) ∈ ℝ
87rexri 8005 . . 3 (2 · π) ∈ ℝ*
9 elioo2 9908 . . 3 (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π))))
104, 8, 9mp2an 426 . 2 (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)))
11 df-3 8968 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
1211oveq1i 5879 . . . . . . . . . . 11 (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
13 2cn 8979 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
14 ax-1cn 7895 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
152recni 7960 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) ∈ ℂ
1613, 14, 15adddiri 7959 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
176recni 7960 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
18 2ap0 9001 . . . . . . . . . . . . 13 2 # 0
1917, 13, 18divcanap2i 8701 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (π / 2)) = π
2015mulid2i 7951 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2119, 20oveq12i 5881 . . . . . . . . . . 11 ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
2212, 16, 213eqtrri 2203 . . . . . . . . . 10 (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
2322breq1i 4007 . . . . . . . . 9 ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (3 · (π / 2)) < 𝐴)
24 ltaddsub 8383 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
256, 2, 24mp3an12 1327 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
2623, 25bitr3id 194 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
27 ltsubadd 8379 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
282, 3, 27mp3an23 1329 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29 df-4 8969 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
3029oveq1i 5879 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
311recni 7960 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
3231, 14, 15adddiri 7959 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
3320oveq2i 5880 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
3430, 32, 333eqtrri 2203 . . . . . . . . . . 11 ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
35 4cn 8986 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
3613, 18pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
37 div12ap 8640 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
3835, 17, 36, 37mp3an 1337 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
39 4d2e2 9068 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 2) = 2
4039oveq2i 5880 . . . . . . . . . . . . 13 (π · (4 / 2)) = (π · 2)
4117, 13mulcomi 7954 . . . . . . . . . . . . 13 (π · 2) = (2 · π)
4240, 41eqtri 2198 . . . . . . . . . . . 12 (π · (4 / 2)) = (2 · π)
4338, 42eqtri 2198 . . . . . . . . . . 11 (4 · (π / 2)) = (2 · π)
4434, 43eqtri 2198 . . . . . . . . . 10 ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
4544breq2i 4008 . . . . . . . . 9 (𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (2 · π))
4628, 45bitr2di 197 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (2 · π) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
4726, 46anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) ↔ (π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
48 resubcl 8211 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
492, 48mpan2 425 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
506rexri 8005 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
51 elioo2 9908 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
5250, 4, 51mp2an 426 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53 sincosq3sgn 13916 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5452, 53sylbir 135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
5549, 54syl3an1 1271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
56553expib 1206 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
5747, 56sylbid 150 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
5849resincld 11715 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
5958lt0neg1d 8462 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
6059anbi1d 465 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
6157, 60sylibd 149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
62 recn 7935 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
63 pncan3 8155 . . . . . . . . . 10 (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
6415, 62, 63sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
6564fveq2d 5515 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
6649recnd 7976 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
67 coshalfpip 13910 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6866, 67syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
6965, 68eqtr3d 2212 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
7069breq2d 4012 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (cos‘𝐴) ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
7164fveq2d 5515 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
72 sinhalfpip 13908 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7366, 72syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7471, 73eqtr3d 2212 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
7574breq1d 4010 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
7670, 75anbi12d 473 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
7761, 76sylibrd 169 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0)))
78773impib 1201 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0))
7978ancomd 267 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
8010, 79sylbi 121 1 (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  *cxr 7981   < clt 7982  cmin 8118  -cneg 8119   # cap 8528   / cdiv 8618  2c2 8959  3c3 8960  4c4 8961  (,)cioo 9875  sincsin 11636  cosccos 11637  πcpi 11639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-9 8974  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ioo 9879  df-ioc 9880  df-ico 9881  df-icc 9882  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-sin 11642  df-cos 11643  df-pi 11645  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793
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