Theorem sincosq4sgn 14702

Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq4sgn	⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem sincosq4sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9022	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		halfpire 14665	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
3	1, 2	remulcli 8000	. . . 4 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
4	3	rexri 8044	. . 3 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
5		2re 9018	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 14659	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 8000	. . . 4 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
8	7	rexri 8044	. . 3 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
9		elioo2 9950	. . 3 ⊢ (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
10	4, 8, 9	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
11		df-3 9008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
12	11	oveq1i 5905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
13		2cn 9019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 7933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	2	recni 7998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16	13, 14, 15	adddiri 7997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
17	6	recni 7998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
18		2ap0 9041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 # 0
19	17, 13, 18	divcanap2i 8741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
20	15	mullidi 7989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
21	19, 20	oveq12i 5907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
22	12, 16, 21	3eqtrri 2215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
23	22	breq1i 4025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (3 · (π / 2)) < 𝐴)
24		ltaddsub 8422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
25	6, 2, 24	mp3an12 1338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
26	23, 25	bitr3id 194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
27		ltsubadd 8418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
28	2, 3, 27	mp3an23 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29		df-4 9009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
30	29	oveq1i 5905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
31	1	recni 7998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31, 14, 15	adddiri 7997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
33	20	oveq2i 5906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
34	30, 32, 33	3eqtrri 2215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
35		4cn 9026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
36	13, 18	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
37		div12ap 8680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
38	35, 17, 36, 37	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
39		4d2e2 9108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 2) = 2
40	39	oveq2i 5906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · (4 / 2)) = (π · 2)
41	17, 13	mulcomi 7992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · 2) = (2 · π)
42	40, 41	eqtri 2210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π · (4 / 2)) = (2 · π)
43	38, 42	eqtri 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · (π / 2)) = (2 · π)
44	34, 43	eqtri 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
45	44	breq2i 4026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (2 · π))
46	28, 45	bitr2di 197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (2 · π) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
47	26, 46	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) ↔ (π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
48		resubcl 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
49	2, 48	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
50	6	rexri 8044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ*
51		elioo2 9950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
52	50, 4, 51	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53		sincosq3sgn 14701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
54	52, 53	sylbir 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
55	49, 54	syl3an1 1282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
56	55	3expib 1208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
57	47, 56	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
58	49	resincld 11762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
59	58	lt0neg1d 8501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
60	59	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
61	57, 60	sylibd 149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
62		recn 7973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
63		pncan3 8194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
64	15, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
65	64	fveq2d 5538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
66	49	recnd 8015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
67		coshalfpip 14695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
69	65, 68	eqtr3d 2224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
70	69	breq2d 4030	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (cos‘𝐴) ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
71	64	fveq2d 5538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
72		sinhalfpip 14693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
73	66, 72	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
74	71, 73	eqtr3d 2224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
75	74	breq1d 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
76	70, 75	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
77	61, 76	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0)))
78	77	3impib 1203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0))
79	78	ancomd 267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
80	10, 79	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5895  ℂcc 7838  ℝcr 7839  0cc0 7840  1c1 7841   + caddc 7843   · cmul 7845  ℝ^*cxr 8020   < clt 8021   − cmin 8157  -cneg 8158   # cap 8567   / cdiv 8658  2c2 8999  3c3 9000  4c4 9001  (,)cioo 9917  sincsin 11683  cosccos 11684  πcpi 11686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959  ax-caucvg 7960  ax-pre-suploc 7961  ax-addf 7962  ax-mulf 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-of 6105  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-frec 6415  df-1o 6440  df-oadd 6444  df-er 6558  df-map 6675  df-pm 6676  df-en 6766  df-dom 6767  df-fin 6768  df-sup 7012  df-inf 7013  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-9 9014  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-q 9649  df-rp 9683  df-xneg 9801  df-xadd 9802  df-ioo 9921  df-ioc 9922  df-ico 9923  df-icc 9924  df-fz 10038  df-fzo 10172  df-seqfrec 10476  df-exp 10550  df-fac 10737  df-bc 10759  df-ihash 10787  df-shft 10855  df-cj 10882  df-re 10883  df-im 10884  df-rsqrt 11038  df-abs 11039  df-clim 11318  df-sumdc 11393  df-ef 11687  df-sin 11689  df-cos 11690  df-pi 11692  df-rest 12743  df-topgen 12762  df-psmet 13853  df-xmet 13854  df-met 13855  df-bl 13856  df-mopn 13857  df-top 13950  df-topon 13963  df-bases 13995  df-ntr 14048  df-cn 14140  df-cnp 14141  df-tx 14205  df-cncf 14510  df-limced 14577  df-dvap 14578

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