ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincosq4sgn GIF version

Theorem sincosq4sgn 14647
Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincosq4sgn (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))

Proof of Theorem sincosq4sgn
StepHypRef Expression
1 3re 9011 . . . . 5 3 ∈ ℝ
2 halfpire 14610 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
31, 2remulcli 7989 . . . 4 (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ
43rexri 8033 . . 3 (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*
5 2re 9007 . . . . 5 2 ∈ ℝ
6 pire 14604 . . . . 5 Ο€ ∈ ℝ
75, 6remulcli 7989 . . . 4 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
87rexri 8033 . . 3 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*
9 elioo2 9939 . . 3 (((3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€))))
104, 8, 9mp2an 426 . 2 (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)))
11 df-3 8997 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
1211oveq1i 5901 . . . . . . . . . . 11 (3 Β· (Ο€ / 2)) = ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2))
13 2cn 9008 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
14 ax-1cn 7922 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
152recni 7987 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ / 2) ∈ β„‚
1613, 14, 15adddiri 7986 . . . . . . . . . . 11 ((2 + 1) Β· (Ο€ / 2)) = ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2)))
176recni 7987 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
18 2ap0 9030 . . . . . . . . . . . . 13 2 # 0
1917, 13, 18divcanap2i 8730 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· (Ο€ / 2)) = Ο€
2015mullidi 7978 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ / 2)
2119, 20oveq12i 5903 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2))) = (Ο€ + (Ο€ / 2))
2212, 16, 213eqtrri 2215 . . . . . . . . . 10 (Ο€ + (Ο€ / 2)) = (3 Β· (Ο€ / 2))
2322breq1i 4025 . . . . . . . . 9 ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴)
24 ltaddsub 8411 . . . . . . . . . 10 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
256, 2, 24mp3an12 1338 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ + (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
2623, 25bitr3id 194 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ↔ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
27 ltsubadd 8407 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))))
282, 3, 27mp3an23 1340 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))))
29 df-4 8998 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (3 + 1)
3029oveq1i 5901 . . . . . . . . . . . 12 (4 Β· (Ο€ / 2)) = ((3 + 1) Β· (Ο€ / 2))
311recni 7987 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„‚
3231, 14, 15adddiri 7986 . . . . . . . . . . . 12 ((3 + 1) Β· (Ο€ / 2)) = ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2)))
3320oveq2i 5902 . . . . . . . . . . . 12 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (1 Β· (Ο€ / 2))) = ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2))
3430, 32, 333eqtrri 2215 . . . . . . . . . . 11 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) = (4 Β· (Ο€ / 2))
35 4cn 9015 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ β„‚
3613, 18pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 # 0)
37 div12ap 8669 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚ ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 # 0)) β†’ (4 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ Β· (4 / 2)))
3835, 17, 36, 37mp3an 1348 . . . . . . . . . . . 12 (4 Β· (Ο€ / 2)) = (Ο€ Β· (4 / 2))
39 4d2e2 9097 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 / 2) = 2
4039oveq2i 5902 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· (4 / 2)) = (Ο€ Β· 2)
4117, 13mulcomi 7981 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· 2) = (2 Β· Ο€)
4240, 41eqtri 2210 . . . . . . . . . . . 12 (Ο€ Β· (4 / 2)) = (2 Β· Ο€)
4338, 42eqtri 2210 . . . . . . . . . . 11 (4 Β· (Ο€ / 2)) = (2 Β· Ο€)
4434, 43eqtri 2210 . . . . . . . . . 10 ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) = (2 Β· Ο€)
4544breq2i 4026 . . . . . . . . 9 (𝐴 < ((3 Β· (Ο€ / 2)) + (Ο€ / 2)) ↔ 𝐴 < (2 Β· Ο€))
4628, 45bitr2di 197 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 < (2 Β· Ο€) ↔ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))))
4726, 46anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) ↔ (Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
48 resubcl 8239 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
492, 48mpan2 425 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ)
506rexri 8033 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ ℝ*
51 elioo2 9939 . . . . . . . . . . 11 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2)))))
5250, 4, 51mp2an 426 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) ↔ ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))))
53 sincosq3sgn 14646 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ (Ο€(,)(3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
5452, 53sylbir 135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
5549, 54syl3an1 1282 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
56553expib 1208 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ < (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∧ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) < (3 Β· (Ο€ / 2))) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
5747, 56sylbid 150 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
5849resincld 11749 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∈ ℝ)
5958lt0neg1d 8490 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
6059anbi1d 465 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0 ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
6157, 60sylibd 149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
62 recn 7962 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
63 pncan3 8183 . . . . . . . . . 10 (((Ο€ / 2) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
6415, 62, 63sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) = 𝐴)
6564fveq2d 5534 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜π΄))
6649recnd 8004 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚)
67 coshalfpip 14640 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6866, 67syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
6965, 68eqtr3d 2224 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) = -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7069breq2d 4030 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ↔ 0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))))
7164fveq2d 5534 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (sinβ€˜π΄))
72 sinhalfpip 14638 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7366, 72syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜((Ο€ / 2) + (𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2)))) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7471, 73eqtr3d 2224 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))))
7574breq1d 4028 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ↔ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0))
7670, 75anbi12d 473 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0) ↔ (0 < -(sinβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) ∧ (cosβ€˜(𝐴 βˆ’ (Ο€ / 2))) < 0)))
7761, 76sylibrd 169 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0)))
78773impib 1203 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ (0 < (cosβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 0))
7978ancomd 267 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 Β· (Ο€ / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
8010, 79sylbi 121 1 (𝐴 ∈ ((3 Β· (Ο€ / 2))(,)(2 Β· Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π΄) < 0 ∧ 0 < (cosβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  β„‚cc 7827  β„cr 7828  0cc0 7829  1c1 7830   + caddc 7832   Β· cmul 7834  β„*cxr 8009   < clt 8010   βˆ’ cmin 8146  -cneg 8147   # cap 8556   / cdiv 8647  2c2 8988  3c3 8989  4c4 8990  (,)cioo 9906  sincsin 11670  cosccos 11671  Ο€cpi 11673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949  ax-pre-suploc 7950  ax-addf 7951  ax-mulf 7952
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-of 6101  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-map 6668  df-pm 6669  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-7 9001  df-8 9002  df-9 9003  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-xneg 9790  df-xadd 9791  df-ioo 9910  df-ioc 9911  df-ico 9912  df-icc 9913  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-fac 10724  df-bc 10746  df-ihash 10774  df-shft 10842  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305  df-sumdc 11380  df-ef 11674  df-sin 11676  df-cos 11677  df-pi 11679  df-rest 12712  df-topgen 12731  df-psmet 13817  df-xmet 13818  df-met 13819  df-bl 13820  df-mopn 13821  df-top 13895  df-topon 13908  df-bases 13940  df-ntr 13993  df-cn 14085  df-cnp 14086  df-tx 14150  df-cncf 14455  df-limced 14522  df-dvap 14523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator