Theorem sincosq4sgn 14964

Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq4sgn	⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem sincosq4sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9056	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		halfpire 14927	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
3	1, 2	remulcli 8033	. . . 4 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
4	3	rexri 8077	. . 3 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
5		2re 9052	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 14921	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 8033	. . . 4 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
8	7	rexri 8077	. . 3 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
9		elioo2 9987	. . 3 ⊢ (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
10	4, 8, 9	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
11		df-3 9042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
12	11	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
13		2cn 9053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	2	recni 8031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16	13, 14, 15	adddiri 8030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
17	6	recni 8031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
18		2ap0 9075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 # 0
19	17, 13, 18	divcanap2i 8774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
20	15	mullidi 8022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
21	19, 20	oveq12i 5930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
22	12, 16, 21	3eqtrri 2219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
23	22	breq1i 4036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (3 · (π / 2)) < 𝐴)
24		ltaddsub 8455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
25	6, 2, 24	mp3an12 1338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
26	23, 25	bitr3id 194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
27		ltsubadd 8451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
28	2, 3, 27	mp3an23 1340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29		df-4 9043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
30	29	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
31	1	recni 8031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31, 14, 15	adddiri 8030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
33	20	oveq2i 5929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
34	30, 32, 33	3eqtrri 2219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
35		4cn 9060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
36	13, 18	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
37		div12ap 8713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
38	35, 17, 36, 37	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
39		4d2e2 9142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 2) = 2
40	39	oveq2i 5929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · (4 / 2)) = (π · 2)
41	17, 13	mulcomi 8025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · 2) = (2 · π)
42	40, 41	eqtri 2214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π · (4 / 2)) = (2 · π)
43	38, 42	eqtri 2214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · (π / 2)) = (2 · π)
44	34, 43	eqtri 2214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
45	44	breq2i 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (2 · π))
46	28, 45	bitr2di 197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (2 · π) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
47	26, 46	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) ↔ (π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
48		resubcl 8283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
49	2, 48	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
50	6	rexri 8077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ*
51		elioo2 9987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
52	50, 4, 51	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53		sincosq3sgn 14963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
54	52, 53	sylbir 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
55	49, 54	syl3an1 1282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
56	55	3expib 1208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
57	47, 56	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
58	49	resincld 11866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
59	58	lt0neg1d 8534	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
60	59	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
61	57, 60	sylibd 149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
62		recn 8005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
63		pncan3 8227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
64	15, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
65	64	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
66	49	recnd 8048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
67		coshalfpip 14957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
69	65, 68	eqtr3d 2228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
70	69	breq2d 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (cos‘𝐴) ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
71	64	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
72		sinhalfpip 14955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
73	66, 72	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
74	71, 73	eqtr3d 2228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
75	74	breq1d 4039	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
76	70, 75	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
77	61, 76	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0)))
78	77	3impib 1203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0))
79	78	ancomd 267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
80	10, 79	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  ℝ^*cxr 8053   < clt 8054   − cmin 8190  -cneg 8191   # cap 8600   / cdiv 8691  2c2 9033  3c3 9034  4c4 9035  (,)cioo 9954  sincsin 11787  cosccos 11788  πcpi 11790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-ioc 9959  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-sin 11793  df-cos 11794  df-pi 11796  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811

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