Theorem sincosq4sgn 15623

Description: The signs of the sine and cosine functions in the fourth quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq4sgn	⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem sincosq4sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9259	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		halfpire 15586	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
3	1, 2	remulcli 8236	. . . 4 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
4	3	rexri 8279	. . 3 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
5		2re 9255	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		pire 15580	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
7	5, 6	remulcli 8236	. . . 4 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
8	7	rexri 8279	. . 3 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
9		elioo2 10200	. . 3 ⊢ (((3 · (π / 2)) ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
10	4, 8, 9	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
11		df-3 9245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
12	11	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (π / 2)) = ((2 + 1) · (π / 2))
13		2cn 9256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		ax-1cn 8168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	2	recni 8234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16	13, 14, 15	adddiri 8233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 + 1) · (π / 2)) = ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
17	6	recni 8234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
18		2ap0 9278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 # 0
19	17, 13, 18	divcanap2i 8977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
20	15	mullidi 8225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
21	19, 20	oveq12i 6040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = (π + (π / 2))
22	12, 16, 21	3eqtrri 2257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π + (π / 2)) = (3 · (π / 2))
23	22	breq1i 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ (3 · (π / 2)) < 𝐴)
24		ltaddsub 8658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
25	6, 2, 24	mp3an12 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π + (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
26	23, 25	bitr3id 194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((3 · (π / 2)) < 𝐴 ↔ π < (𝐴 − (π / 2))))
27		ltsubadd 8654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
28	2, 3, 27	mp3an23 1366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)) ↔ 𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2))))
29		df-4 9246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 = (3 + 1)
30	29	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = ((3 + 1) · (π / 2))
31	1	recni 8234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
32	31, 14, 15	adddiri 8233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 + 1) · (π / 2)) = ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2)))
33	20	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (1 · (π / 2))) = ((3 · (π / 2)) + (π / 2))
34	30, 32, 33	3eqtrri 2257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (4 · (π / 2))
35		4cn 9263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
36	13, 18	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
37		div12ap 8916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2)))
38	35, 17, 36, 37	mp3an 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · (π / 2)) = (π · (4 / 2))
39		4d2e2 9346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 / 2) = 2
40	39	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · (4 / 2)) = (π · 2)
41	17, 13	mulcomi 8228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π · 2) = (2 · π)
42	40, 41	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π · (4 / 2)) = (2 · π)
43	38, 42	eqtri 2252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · (π / 2)) = (2 · π)
44	34, 43	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) = (2 · π)
45	44	breq2i 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 < ((3 · (π / 2)) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < (2 · π))
46	28, 45	bitr2di 197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (2 · π) ↔ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
47	26, 46	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) ↔ (π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
48		resubcl 8485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
49	2, 48	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
50	6	rexri 8279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ*
51		elioo2 10200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2)))))
52	50, 4, 51	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))))
53		sincosq3sgn 15622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (π(,)(3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
54	52, 53	sylbir 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
55	49, 54	syl3an1 1307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
56	55	3expib 1233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (3 · (π / 2))) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
57	47, 56	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
58	49	resincld 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
59	58	lt0neg1d 8737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
60	59	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
61	57, 60	sylibd 149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
62		recn 8208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
63		pncan3 8429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
64	15, 62, 63	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
65	64	fveq2d 5652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
66	49	recnd 8250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
67		coshalfpip 15616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
69	65, 68	eqtr3d 2266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
70	69	breq2d 4105	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (cos‘𝐴) ↔ 0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2)))))
71	64	fveq2d 5652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
72		sinhalfpip 15614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
73	66, 72	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
74	71, 73	eqtr3d 2266	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
75	74	breq1d 4103	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) < 0 ↔ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
76	70, 75	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0) ↔ (0 < -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ (cos‘(𝐴 − (π / 2))) < 0)))
77	61, 76	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0)))
78	77	3impib 1228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → (0 < (cos‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 0))
79	78	ancomd 267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (3 · (π / 2)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))
80	10, 79	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((3 · (π / 2))(,)(2 · π)) → ((sin‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (cos‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080  ℝ^*cxr 8255   < clt 8256   − cmin 8392  -cneg 8393   # cap 8803   / cdiv 8894  2c2 9236  3c3 9237  4c4 9238  (,)cioo 10167  sincsin 12268  cosccos 12269  πcpi 12271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-ioo 10171  df-ioc 10172  df-ico 10173  df-icc 10174  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-bc 11056  df-ihash 11084  df-shft 11438  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-sin 12274  df-cos 12275  df-pi 12277  df-rest 13387  df-topgen 13406  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-top 14792  df-topon 14805  df-bases 14837  df-ntr 14890  df-cn 14982  df-cnp 14983  df-tx 15047  df-cncf 15365  df-limced 15450  df-dvap 15451

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