Theorem map2psrprg 7865

Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
map2psrprg	⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Proof of Theorem map2psrprg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 7798	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
2	1	brel 4711	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
3	2	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
4	3	anim2i 342	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6		m1r 7812	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ R
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → -1R ∈ R)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
9		mulclsr 7814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
10	8, 7, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
11		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐴 ∈ R)
12		addclsr 7813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
14		ltasrg 7830	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
15	7, 13, 8, 14	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
16		pn0sr 7831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R)
17	16	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
18	17	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
19		addasssrg 7816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
20	8, 10, 11, 19	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
21		0r 7810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0R ∈ R
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 0R ∈ R)
23		addcomsrg 7815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
24	22, 11, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = (𝐴 +R 0R))
26		0idsr 7827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
28	25, 27	eqtrd 2226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = 𝐴)
29	28	breq2d 4041	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
30	15, 29	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
31	6, 9	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
32	31, 12	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
33		df-nr 7787	. . . . . . . 8 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
34		breq2 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ -1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
35		eqeq2 2203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
36	35	rexbidv 2495	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
37	34, 36	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ((-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ) ↔ (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
38		df-m1r 7793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
39	38	breq1i 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R )
40		1pr 7614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1P ∈ P
41		addassprg 7639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
42	40, 40, 41	mp3an12 1338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
43	42	breq2d 4041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
45		addclpr 7597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
46	40, 40, 45	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
47		ltsrprg 7807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
48	40, 46, 47	mpanl12 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑧 ∈ P)
50	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 1P ∈ P)
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑦 ∈ P)
52		addclpr 7597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
54		ltaprg 7679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ (1P +P 𝑦) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
55	49, 53, 50, 54	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
56	44, 48, 55	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
57	39, 56	bitrid 192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
58		ltexpri 7673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧<P (1P +P 𝑦) → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
59	57, 58	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
60		enreceq 7796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
61	40, 60	mpanl2 435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
62	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑧 ∈ P)
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑥 ∈ P)
64		addcomprg 7638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
66	65	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
67	61, 66	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
68	67	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ P) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
69	68	rexbidva 2491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
70	59, 69	sylibrd 169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ))
71	33, 37, 70	ecoptocl 6676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
72	32, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
73		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
74	73, 28	sylan9eqr 2248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) ∧ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
75	74	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
76	75	reximdv 2595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
77	72, 76	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
78	30, 77	sylbird 170	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
79	4, 5, 78	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
80	79	ex 115	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
81		mappsrprg 7864	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ))
82		breq2 4033	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
83	81, 82	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
84	83	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
85	84	rexlimdva 2611	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → (∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
86	80, 85	impbid 129	1 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  [cec 6585  Pcnp 7351  1_Pc1p 7352   +_P cpp 7353  <_P cltp 7355   ~_R cer 7356  Rcnr 7357  0_Rc0r 7358  -1_Rcm1r 7360   +_R cplr 7361   ·_R cmr 7362   <_R cltr 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-imp 7529  df-iltp 7530  df-enr 7786  df-nr 7787  df-plr 7788  df-mr 7789  df-ltr 7790  df-0r 7791  df-1r 7792  df-m1r 7793

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7866  suplocsrlempr  7867  suplocsrlem  7868