Theorem map2psrprg 8179

Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
map2psrprg	⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Proof of Theorem map2psrprg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 8112	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
2	1	brel 4829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
3	2	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
4	3	anim2i 342	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6		m1r 8126	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ R
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → -1R ∈ R)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
9		mulclsr 8128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
10	8, 7, 9	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
11		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐴 ∈ R)
12		addclsr 8127	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
13	10, 11, 12	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
14		ltasrg 8144	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
15	7, 13, 8, 14	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
16		pn0sr 8145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R)
17	16	oveq1d 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
18	17	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
19		addasssrg 8130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
20	8, 10, 11, 19	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
21		0r 8124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0R ∈ R
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 0R ∈ R)
23		addcomsrg 8129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
24	22, 11, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = (𝐴 +R 0R))
26		0idsr 8141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
28	25, 27	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = 𝐴)
29	28	breq2d 4143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
30	15, 29	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
31	6, 9	mpan2 429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
32	31, 12	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
33		df-nr 8101	. . . . . . . 8 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
34		breq2 4135	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ -1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
35		eqeq2 2248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
36	35	rexbidv 2551	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
37	34, 36	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ((-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ) ↔ (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
38		df-m1r 8107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
39	38	breq1i 4138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R )
40		1pr 7928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1P ∈ P
41		addassprg 7953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
42	40, 40, 41	mp3an12 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
43	42	breq2d 4143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
45		addclpr 7911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
46	40, 40, 45	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
47		ltsrprg 8121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
48	40, 46, 47	mpanl12 440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑧 ∈ P)
50	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 1P ∈ P)
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑦 ∈ P)
52		addclpr 7911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
53	50, 51, 52	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
54		ltaprg 7993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ (1P +P 𝑦) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
55	49, 53, 50, 54	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
56	44, 48, 55	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
57	39, 56	bitrid 192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
58		ltexpri 7987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧<P (1P +P 𝑦) → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
59	57, 58	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
60		enreceq 8110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
61	40, 60	mpanl2 439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
62	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑧 ∈ P)
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑥 ∈ P)
64		addcomprg 7952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
65	62, 63, 64	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
66	65	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
67	61, 66	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
68	67	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ P) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
69	68	rexbidva 2547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
70	59, 69	sylibrd 169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ))
71	33, 37, 70	ecoptocl 6900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
72	32, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
73		oveq2 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
74	73, 28	sylan9eqr 2293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) ∧ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
75	74	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
76	75	reximdv 2651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
77	72, 76	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
78	30, 77	sylbird 170	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
79	4, 5, 78	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
80	79	ex 115	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
81		mappsrprg 8178	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ))
82		breq2 4135	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
83	81, 82	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
84	83	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
85	84	rexlimdva 2668	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → (∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
86	80, 85	impbid 129	1 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  [cec 6809  Pcnp 7665  1_Pc1p 7666   +_P cpp 7667  <_P cltp 7669   ~_R cer 7670  Rcnr 7671  0_Rc0r 7672  -1_Rcm1r 7674   +_R cplr 7675   ·_R cmr 7676   <_R cltr 7677

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7678  df-pli 7679  df-mi 7680  df-lti 7681  df-plpq 7718  df-mpq 7719  df-enq 7721  df-nqqs 7722  df-plqqs 7723  df-mqqs 7724  df-1nqqs 7725  df-rq 7726  df-ltnqqs 7727  df-enq0 7798  df-nq0 7799  df-0nq0 7800  df-plq0 7801  df-mq0 7802  df-inp 7840  df-i1p 7841  df-iplp 7842  df-imp 7843  df-iltp 7844  df-enr 8100  df-nr 8101  df-plr 8102  df-mr 8103  df-ltr 8104  df-0r 8105  df-1r 8106  df-m1r 8107

This theorem is used by:  suplocsrlemb  8180  suplocsrlempr  8181  suplocsrlem  8182