ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  map2psrprg GIF version

Theorem map2psrprg 7795
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
map2psrprg (𝐶R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Proof of Theorem map2psrprg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 7728 . . . . . . 7 <R ⊆ (R × R)
21brel 4675 . . . . . 6 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) ∈ R𝐴R))
32simprd 114 . . . . 5 ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴𝐴R)
43anim2i 342 . . . 4 ((𝐶R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶R𝐴R))
5 simpr 110 . . . 4 ((𝐶R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6 m1r 7742 . . . . . . . 8 -1RR
76a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐶R𝐴R) → -1RR)
8 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝐶R𝐴R) → 𝐶R)
9 mulclsr 7744 . . . . . . . . 9 ((𝐶R ∧ -1RR) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
108, 7, 9syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝐶R𝐴R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
11 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝐶R𝐴R) → 𝐴R)
12 addclsr 7743 . . . . . . . 8 (((𝐶 ·R -1R) ∈ R𝐴R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
1310, 11, 12syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝐶R𝐴R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
14 ltasrg 7760 . . . . . . 7 ((-1RR ∧ ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R𝐶R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
157, 13, 8, 14syl3anc 1238 . . . . . 6 ((𝐶R𝐴R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
16 pn0sr 7761 . . . . . . . . . . 11 (𝐶R → (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R)
1716oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (𝐶R → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
1817adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝐶R𝐴R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
19 addasssrg 7746 . . . . . . . . . 10 ((𝐶R ∧ (𝐶 ·R -1R) ∈ R𝐴R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
208, 10, 11, 19syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((𝐶R𝐴R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
21 0r 7740 . . . . . . . . . . 11 0RR
2221a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝐶R𝐴R) → 0RR)
23 addcomsrg 7745 . . . . . . . . . 10 ((0RR𝐴R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
2422, 11, 23syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐶R𝐴R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
2518, 20, 243eqtr3d 2218 . . . . . . . 8 ((𝐶R𝐴R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = (𝐴 +R 0R))
26 0idsr 7757 . . . . . . . . 9 (𝐴R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
2726adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐶R𝐴R) → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
2825, 27eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝐶R𝐴R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = 𝐴)
2928breq2d 4012 . . . . . 6 ((𝐶R𝐴R) → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
3015, 29bitrd 188 . . . . 5 ((𝐶R𝐴R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
316, 9mpan2 425 . . . . . . . 8 (𝐶R → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
3231, 12sylan 283 . . . . . . 7 ((𝐶R𝐴R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
33 df-nr 7717 . . . . . . . 8 R = ((P × P) / ~R )
34 breq2 4004 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ -1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
35 eqeq2 2187 . . . . . . . . . 10 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
3635rexbidv 2478 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
3734, 36imbi12d 234 . . . . . . . 8 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ((-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ) ↔ (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
38 df-m1r 7723 . . . . . . . . . . . 12 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
3938breq1i 4007 . . . . . . . . . . 11 (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R )
40 1pr 7544 . . . . . . . . . . . . . . 15 1PP
41 addassprg 7569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1PP ∧ 1PP𝑦P) → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
4240, 40, 41mp3an12 1327 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦P → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
4342breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦P → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
4443adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦P𝑧P) → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
45 addclpr 7527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
4640, 40, 45mp2an 426 . . . . . . . . . . . . 13 (1P +P 1P) ∈ P
47 ltsrprg 7737 . . . . . . . . . . . . 13 (((1PP ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
4840, 46, 47mpanl12 436 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦P𝑧P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
49 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦P𝑧P) → 𝑧P)
5040a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦P𝑧P) → 1PP)
51 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦P𝑧P) → 𝑦P)
52 addclpr 7527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1PP𝑦P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
5350, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦P𝑧P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
54 ltaprg 7609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧P ∧ (1P +P 𝑦) ∈ P ∧ 1PP) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
5549, 53, 50, 54syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦P𝑧P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
5644, 48, 553bitr4d 220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦P𝑧P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R𝑧<P (1P +P 𝑦)))
5739, 56bitrid 192 . . . . . . . . . 10 ((𝑦P𝑧P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R𝑧<P (1P +P 𝑦)))
58 ltexpri 7603 . . . . . . . . . 10 (𝑧<P (1P +P 𝑦) → ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
5957, 58syl6bi 163 . . . . . . . . 9 ((𝑦P𝑧P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
60 enreceq 7726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥P ∧ 1PP) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
6140, 60mpanl2 435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
6249adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → 𝑧P)
63 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → 𝑥P)
64 addcomprg 7568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧P𝑥P) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
6562, 63, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
6665eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → ((𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
6761, 66bitr4d 191 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥P ∧ (𝑦P𝑧P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
6867ancoms 268 . . . . . . . . . 10 (((𝑦P𝑧P) ∧ 𝑥P) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
6968rexbidva 2474 . . . . . . . . 9 ((𝑦P𝑧P) → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
7059, 69sylibrd 169 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑧P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ))
7133, 37, 70ecoptocl 6616 . . . . . . 7 (((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
7232, 71syl 14 . . . . . 6 ((𝐶R𝐴R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
73 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
7473, 28sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 (((𝐶R𝐴R) ∧ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
7574ex 115 . . . . . . 7 ((𝐶R𝐴R) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
7675reximdv 2578 . . . . . 6 ((𝐶R𝐴R) → (∃𝑥P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
7772, 76syld 45 . . . . 5 ((𝐶R𝐴R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
7830, 77sylbird 170 . . . 4 ((𝐶R𝐴R) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
794, 5, 78sylc 62 . . 3 ((𝐶R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
8079ex 115 . 2 (𝐶R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
81 mappsrprg 7794 . . . . 5 ((𝑥P𝐶R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ))
82 breq2 4004 . . . . 5 ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
8381, 82syl5ibcom 155 . . . 4 ((𝑥P𝐶R) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
8483ancoms 268 . . 3 ((𝐶R𝑥P) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
8584rexlimdva 2594 . 2 (𝐶R → (∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
8680, 85impbid 129 1 (𝐶R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  cop 3594   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  [cec 6527  Pcnp 7281  1Pc1p 7282   +P cpp 7283  <P cltp 7285   ~R cer 7286  Rcnr 7287  0Rc0r 7288  -1Rcm1r 7290   +R cplr 7291   ·R cmr 7292   <R cltr 7293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456  df-i1p 7457  df-iplp 7458  df-imp 7459  df-iltp 7460  df-enr 7716  df-nr 7717  df-plr 7718  df-mr 7719  df-ltr 7720  df-0r 7721  df-1r 7722  df-m1r 7723
This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7796  suplocsrlempr  7797  suplocsrlem  7798
  Copyright terms: Public domain W3C validator