Theorem map2psrprg 7925

Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
map2psrprg	⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Proof of Theorem map2psrprg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 7858	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
2	1	brel 4731	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
3	2	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
4	3	anim2i 342	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6		m1r 7872	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ R
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → -1R ∈ R)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
9		mulclsr 7874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
10	8, 7, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
11		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐴 ∈ R)
12		addclsr 7873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
14		ltasrg 7890	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
15	7, 13, 8, 14	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
16		pn0sr 7891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R)
17	16	oveq1d 5966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
18	17	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
19		addasssrg 7876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
20	8, 10, 11, 19	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
21		0r 7870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0R ∈ R
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 0R ∈ R)
23		addcomsrg 7875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
24	22, 11, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = (𝐴 +R 0R))
26		0idsr 7887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
28	25, 27	eqtrd 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = 𝐴)
29	28	breq2d 4059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
30	15, 29	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
31	6, 9	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
32	31, 12	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
33		df-nr 7847	. . . . . . . 8 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
34		breq2 4051	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ -1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
35		eqeq2 2216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
36	35	rexbidv 2508	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
37	34, 36	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ((-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ) ↔ (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
38		df-m1r 7853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
39	38	breq1i 4054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R )
40		1pr 7674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1P ∈ P
41		addassprg 7699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
42	40, 40, 41	mp3an12 1340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
43	42	breq2d 4059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
45		addclpr 7657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
46	40, 40, 45	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
47		ltsrprg 7867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
48	40, 46, 47	mpanl12 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑧 ∈ P)
50	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 1P ∈ P)
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑦 ∈ P)
52		addclpr 7657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
54		ltaprg 7739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ (1P +P 𝑦) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
55	49, 53, 50, 54	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
56	44, 48, 55	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
57	39, 56	bitrid 192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
58		ltexpri 7733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧<P (1P +P 𝑦) → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
59	57, 58	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
60		enreceq 7856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
61	40, 60	mpanl2 435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
62	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑧 ∈ P)
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑥 ∈ P)
64		addcomprg 7698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
66	65	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
67	61, 66	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
68	67	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ P) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
69	68	rexbidva 2504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
70	59, 69	sylibrd 169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ))
71	33, 37, 70	ecoptocl 6716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
72	32, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
73		oveq2 5959	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
74	73, 28	sylan9eqr 2261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) ∧ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
75	74	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
76	75	reximdv 2608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
77	72, 76	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
78	30, 77	sylbird 170	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
79	4, 5, 78	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
80	79	ex 115	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
81		mappsrprg 7924	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ))
82		breq2 4051	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
83	81, 82	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
84	83	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
85	84	rexlimdva 2624	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → (∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
86	80, 85	impbid 129	1 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486  ⟨cop 3637   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  [cec 6625  Pcnp 7411  1_Pc1p 7412   +_P cpp 7413  <_P cltp 7415   ~_R cer 7416  Rcnr 7417  0_Rc0r 7418  -1_Rcm1r 7420   +_R cplr 7421   ·_R cmr 7422   <_R cltr 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-eprel 4340  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-1o 6509  df-2o 6510  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-pli 7425  df-mi 7426  df-lti 7427  df-plpq 7464  df-mpq 7465  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-plqqs 7469  df-mqqs 7470  df-1nqqs 7471  df-rq 7472  df-ltnqqs 7473  df-enq0 7544  df-nq0 7545  df-0nq0 7546  df-plq0 7547  df-mq0 7548  df-inp 7586  df-i1p 7587  df-iplp 7588  df-imp 7589  df-iltp 7590  df-enr 7846  df-nr 7847  df-plr 7848  df-mr 7849  df-ltr 7850  df-0r 7851  df-1r 7852  df-m1r 7853

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7926  suplocsrlempr  7927  suplocsrlem  7928