Theorem map2psrprg 7637

Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
map2psrprg	⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Proof of Theorem map2psrprg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 7570	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
2	1	brel 4599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
3	2	simprd 113	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
4	3	anim2i 340	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
5		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6		m1r 7584	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ R
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → -1R ∈ R)
8		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
9		mulclsr 7586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
10	8, 7, 9	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
11		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐴 ∈ R)
12		addclsr 7585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
13	10, 11, 12	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
14		ltasrg 7602	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
15	7, 13, 8, 14	syl3anc 1217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
16		pn0sr 7603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R)
17	16	oveq1d 5797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
18	17	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
19		addasssrg 7588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
20	8, 10, 11, 19	syl3anc 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
21		0r 7582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0R ∈ R
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 0R ∈ R)
23		addcomsrg 7587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
24	22, 11, 23	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = (𝐴 +R 0R))
26		0idsr 7599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
27	26	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
28	25, 27	eqtrd 2173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = 𝐴)
29	28	breq2d 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
30	15, 29	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
31	6, 9	mpan2 422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
32	31, 12	sylan 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
33		df-nr 7559	. . . . . . . 8 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
34		breq2 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ -1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
35		eqeq2 2150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
36	35	rexbidv 2439	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
37	34, 36	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ((-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ) ↔ (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
38		df-m1r 7565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
39	38	breq1i 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R )
40		1pr 7386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1P ∈ P
41		addassprg 7411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
42	40, 40, 41	mp3an12 1306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
43	42	breq2d 3949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
45		addclpr 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
46	40, 40, 45	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
47		ltsrprg 7579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
48	40, 46, 47	mpanl12 433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
49		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑧 ∈ P)
50	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 1P ∈ P)
51		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑦 ∈ P)
52		addclpr 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
53	50, 51, 52	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
54		ltaprg 7451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ (1P +P 𝑦) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
55	49, 53, 50, 54	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
56	44, 48, 55	3bitr4d 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
57	39, 56	syl5bb 191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
58		ltexpri 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧<P (1P +P 𝑦) → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
59	57, 58	syl6bi 162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
60		enreceq 7568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
61	40, 60	mpanl2 432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
62	49	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑧 ∈ P)
63		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑥 ∈ P)
64		addcomprg 7410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
65	62, 63, 64	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
66	65	eqeq1d 2149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
67	61, 66	bitr4d 190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
68	67	ancoms 266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ P) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
69	68	rexbidva 2435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
70	59, 69	sylibrd 168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ))
71	33, 37, 70	ecoptocl 6524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
72	32, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
73		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
74	73, 28	sylan9eqr 2195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) ∧ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
75	74	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
76	75	reximdv 2536	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
77	72, 76	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
78	30, 77	sylbird 169	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
79	4, 5, 78	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
80	79	ex 114	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
81		mappsrprg 7636	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ))
82		breq2 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
83	81, 82	syl5ibcom 154	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
84	83	ancoms 266	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
85	84	rexlimdva 2552	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → (∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
86	80, 85	impbid 128	1 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418  ⟨cop 3535   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  [cec 6435  Pcnp 7123  1_Pc1p 7124   +_P cpp 7125  <_P cltp 7127   ~_R cer 7128  Rcnr 7129  0_Rc0r 7130  -1_Rcm1r 7132   +_R cplr 7133   ·_R cmr 7134   <_R cltr 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-plq0 7259  df-mq0 7260  df-inp 7298  df-i1p 7299  df-iplp 7300  df-imp 7301  df-iltp 7302  df-enr 7558  df-nr 7559  df-plr 7560  df-mr 7561  df-ltr 7562  df-0r 7563  df-1r 7564  df-m1r 7565

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7638  suplocsrlempr  7639  suplocsrlem  7640