Theorem map2psrprg 7960

Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
map2psrprg	⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Proof of Theorem map2psrprg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 7893	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
2	1	brel 4748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
3	2	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → 𝐴 ∈ R)
4	3	anim2i 342	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R))
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴)
6		m1r 7907	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ R
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → -1R ∈ R)
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐶 ∈ R)
9		mulclsr 7909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
10	8, 7, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
11		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 𝐴 ∈ R)
12		addclsr 7908	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
14		ltasrg 7925	. . . . . . 7 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
15	7, 13, 8, 14	syl3anc 1252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
16		pn0sr 7926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) = 0R)
17	16	oveq1d 5989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
18	17	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (0R +R 𝐴))
19		addasssrg 7911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
20	8, 10, 11, 19	syl3anc 1252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R (𝐶 ·R -1R)) +R 𝐴) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
21		0r 7905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0R ∈ R
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → 0R ∈ R)
23		addcomsrg 7910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
24	22, 11, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (0R +R 𝐴) = (𝐴 +R 0R))
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = (𝐴 +R 0R))
26		0idsr 7922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 +R 0R) = 𝐴)
28	25, 27	eqtrd 2242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) = 𝐴)
29	28	breq2d 4074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
30	15, 29	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
31	6, 9	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 ·R -1R) ∈ R)
32	31, 12	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R)
33		df-nr 7882	. . . . . . . 8 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
34		breq2 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ -1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
35		eqeq2 2219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
36	35	rexbidv 2511	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
37	34, 36	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ((-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ) ↔ (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴))))
38		df-m1r 7888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
39	38	breq1i 4069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R )
40		1pr 7709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1P ∈ P
41		addassprg 7734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
42	40, 40, 41	mp3an12 1342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 1P) +P 𝑦) = (1P +P (1P +P 𝑦)))
43	42	breq2d 4074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ P → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ((1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
45		addclpr 7692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
46	40, 40, 45	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
47		ltsrprg 7902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
48	40, 46, 47	mpanl12 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (1P +P 𝑧)<P ((1P +P 1P) +P 𝑦)))
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑧 ∈ P)
50	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 1P ∈ P)
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → 𝑦 ∈ P)
52		addclpr 7692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (1P +P 𝑦) ∈ P)
54		ltaprg 7774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ (1P +P 𝑦) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
55	49, 53, 50, 54	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑧<P (1P +P 𝑦) ↔ (1P +P 𝑧)<P (1P +P (1P +P 𝑦))))
56	44, 48, 55	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
57	39, 56	bitrid 192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ 𝑧<P (1P +P 𝑦)))
58		ltexpri 7768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧<P (1P +P 𝑦) → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦))
59	57, 58	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
60		enreceq 7891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
61	40, 60	mpanl2 435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
62	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑧 ∈ P)
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → 𝑥 ∈ P)
64		addcomprg 7733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → (𝑧 +P 𝑥) = (𝑥 +P 𝑧))
66	65	eqeq1d 2218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ((𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑧) = (1P +P 𝑦)))
67	61, 66	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
68	67	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ P) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
69	68	rexbidva 2507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝑧 +P 𝑥) = (1P +P 𝑦)))
70	59, 69	sylibrd 169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (-1R <R [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = [⟨𝑦, 𝑧⟩] ~R ))
71	33, 37, 70	ecoptocl 6739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) ∈ R → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
72	32, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
73		oveq2 5982	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)))
74	73, 28	sylan9eqr 2264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) ∧ [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴)) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
75	74	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ([⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
76	75	reximdv 2611	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (∃𝑥 ∈ P [⟨𝑥, 1P⟩] ~R = ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
77	72, 76	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (-1R <R ((𝐶 ·R -1R) +R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
78	30, 77	sylbird 170	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
79	4, 5, 78	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴) → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴)
80	79	ex 115	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 → ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))
81		mappsrprg 7959	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ))
82		breq2 4066	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
83	81, 82	syl5ibcom 155	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
84	83	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
85	84	rexlimdva 2628	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ R → (∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐴))
86	80, 85	impbid 129	1 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑥, 1P⟩] ~R ) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489  ⟨cop 3649   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  [cec 6648  Pcnp 7446  1_Pc1p 7447   +_P cpp 7448  <_P cltp 7450   ~_R cer 7451  Rcnr 7452  0_Rc0r 7453  -1_Rcm1r 7455   +_R cplr 7456   ·_R cmr 7457   <_R cltr 7458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-eprel 4357  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-1o 6532  df-2o 6533  df-oadd 6536  df-omul 6537  df-er 6650  df-ec 6652  df-qs 6656  df-ni 7459  df-pli 7460  df-mi 7461  df-lti 7462  df-plpq 7499  df-mpq 7500  df-enq 7502  df-nqqs 7503  df-plqqs 7504  df-mqqs 7505  df-1nqqs 7506  df-rq 7507  df-ltnqqs 7508  df-enq0 7579  df-nq0 7580  df-0nq0 7581  df-plq0 7582  df-mq0 7583  df-inp 7621  df-i1p 7622  df-iplp 7623  df-imp 7624  df-iltp 7625  df-enr 7881  df-nr 7882  df-plr 7883  df-mr 7884  df-ltr 7885  df-0r 7886  df-1r 7887  df-m1r 7888

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7961  suplocsrlempr  7962  suplocsrlem  7963