Theorem xle0neg1 9744

Description: Extended real version of le0neg1 8345. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xle0neg1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xle0neg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 7924	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xleneg 9741	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 0 ↔ -𝑒0 ≤ -𝑒𝐴))
3	1, 2	mpan2 422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 0 ↔ -𝑒0 ≤ -𝑒𝐴))
4		xneg0 9735	. . 3 ⊢ -𝑒0 = 0
5	4	breq1i 3972	. 2 ⊢ (-𝑒0 ≤ -𝑒𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑒𝐴)
6	3, 5	bitrdi 195	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑒𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  0cc0 7732  ℝ^*cxr 7911   ≤ cle 7913  -_𝑒cxne 9676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-xneg 9679

This theorem is referenced by: (None)