Theorem elfzle2 9801

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9796	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9331	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767   ≤ cle 7794  ℤ_≥cuz 9319  ...cfz 9783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-neg 7929  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9808  fzdisj  9825  fznatpl1  9849  fzp1disj  9853  uzdisj  9866  fzneuz  9874  fznuz  9875  elfzmlbm  9901  difelfznle  9905  nn0disj  9908  iseqf1olemqcl  10252  iseqf1olemnab  10254  iseqf1olemab  10255  iseqf1olemqk  10260  iseqf1olemfvp  10263  seq3f1olemqsumkj  10264  seq3f1olemqsumk  10265  seq3f1olemqsum  10266  seq3f1oleml  10269  seq3f1o  10270  bcval4  10491  bcp1nk  10501  zfz1isolemiso  10575  seq3coll  10578  summodclem3  11142  summodclem2a  11143  fsum3  11149  fsumcl2lem  11160  fsum0diaglem  11202  mertenslemi1  11297  fzm1ndvds  11543  prmind2  11790  prmdvdsfz  11808  hashdvds  11886  ennnfonelemim  11926  ctinfomlemom  11929  supfz  13226