Theorem elfzle2 9925

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9920	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9446	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821   ≤ cle 7908  ℤ_≥cuz 9434  ...cfz 9907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-neg 8044  df-z 9163  df-uz 9435  df-fz 9908

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9932  fzdisj  9949  fznatpl1  9973  fzp1disj  9977  uzdisj  9990  fzneuz  9998  fznuz  9999  elfzmlbm  10025  difelfznle  10029  nn0disj  10032  iseqf1olemqcl  10380  iseqf1olemnab  10382  iseqf1olemab  10383  iseqf1olemqk  10388  iseqf1olemfvp  10391  seq3f1olemqsumkj  10392  seq3f1olemqsumk  10393  seq3f1olemqsum  10394  seq3f1oleml  10397  seq3f1o  10398  bcval4  10621  bcp1nk  10631  zfz1isolemiso  10705  seq3coll  10708  summodclem3  11272  summodclem2a  11273  fsum3  11279  fsumcl2lem  11290  fsum0diaglem  11332  mertenslemi1  11427  prodmodclem3  11467  prodmodclem2a  11468  fprodseq  11475  fzm1ndvds  11742  prmind2  11991  prmdvdsfz  12010  hashdvds  12088  eulerthlemrprm  12096  eulerthlema  12097  prmdiveq  12103  ennnfonelemim  12140  ctinfomlemom  12143  supfz  13626