Theorem elfzle2 10103

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10097	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9613	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ≤ cle 8062  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-neg 8200  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10110  fzdisj  10127  fznatpl1  10151  fzp1disj  10155  uzdisj  10168  fzneuz  10176  fznuz  10177  elfzmlbm  10206  difelfznle  10210  nn0disj  10213  iseqf1olemqcl  10591  iseqf1olemnab  10593  iseqf1olemab  10594  iseqf1olemqk  10599  iseqf1olemfvp  10602  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemqsum  10605  seq3f1oleml  10608  seq3f1o  10609  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  seqfeq4g  10623  bcval4  10844  bcp1nk  10854  zfz1isolemiso  10931  seq3coll  10934  summodclem3  11545  summodclem2a  11546  fsum3  11552  fsumcl2lem  11563  fsum0diaglem  11605  mertenslemi1  11700  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  fprodseq  11748  fzm1ndvds  12021  prmind2  12288  prmdvdsfz  12307  isprm5lem  12309  hashdvds  12389  eulerthlemrprm  12397  eulerthlema  12398  prmdiveq  12404  4sqlem11  12570  4sqlem12  12571  ennnfonelemim  12641  ctinfomlemom  12644  gsumfzfsumlemm  14143  wilthlem1  15216  lgsval2lem  15251  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem3  15313  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  2lgslem1a  15329  supfz  15715