Theorem elfzle2 10411

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10404	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9913	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ≤ cle 8351  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10418  fzdisj  10435  fznatpl1  10461  fzp1disj  10465  uzdisj  10478  fzneuz  10486  fznuz  10487  elfzmlbm  10516  difelfznle  10520  nn0disj  10523  infssfzcldc  10647  infssfzledc  10648  iseqf1olemqcl  10914  iseqf1olemnab  10916  iseqf1olemab  10917  iseqf1olemqk  10922  iseqf1olemfvp  10925  seq3f1olemqsumkj  10926  seq3f1olemqsumk  10927  seq3f1olemqsum  10928  seq3f1oleml  10931  seq3f1o  10932  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  seqfeq4g  10946  bcval4  11168  bcp1nk  11178  bcm1n  11185  hashf1  11265  zfz1isolemiso  11269  seq3coll  11272  summodclem3  12125  summodclem2a  12126  fsum3  12132  fsumcl2lem  12143  fsum0diaglem  12185  mertenslemi1  12280  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  fprodseq  12328  fzm1ndvds  12601  prmind2  12876  prmdvdsfz  12895  isprm5lem  12897  hashdvds  12977  eulerthlemrprm  12985  eulerthlema  12986  prmdiveq  12992  4sqlem11  13158  4sqlem12  13159  ballotfilemimin  13227  ballotfilemsdom  13233  ballotfilemsel1i  13234  ballotfilemsima  13237  ballotfilemfrceq  13250  ballotfilemfrcn0  13251  ennnfonelemim  13293  ctinfomlemom  13296  gzsumshift  14126  wilthlem1  16008  lgsval2lem  16043  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem3  16105  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  2lgslem1a  16121  supfz  17026