Theorem elfzle2 10097

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10091	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9607	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ≤ cle 8057  ℤ_≥cuz 9595  ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10104  fzdisj  10121  fznatpl1  10145  fzp1disj  10149  uzdisj  10162  fzneuz  10170  fznuz  10171  elfzmlbm  10200  difelfznle  10204  nn0disj  10207  iseqf1olemqcl  10573  iseqf1olemnab  10575  iseqf1olemab  10576  iseqf1olemqk  10581  iseqf1olemfvp  10584  seq3f1olemqsumkj  10585  seq3f1olemqsumk  10586  seq3f1olemqsum  10587  seq3f1oleml  10590  seq3f1o  10591  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  seqfeq4g  10605  bcval4  10826  bcp1nk  10836  zfz1isolemiso  10913  seq3coll  10916  summodclem3  11526  summodclem2a  11527  fsum3  11533  fsumcl2lem  11544  fsum0diaglem  11586  mertenslemi1  11681  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  fprodseq  11729  fzm1ndvds  12001  prmind2  12261  prmdvdsfz  12280  isprm5lem  12282  hashdvds  12362  eulerthlemrprm  12370  eulerthlema  12371  prmdiveq  12377  4sqlem11  12542  4sqlem12  12543  ennnfonelemim  12584  ctinfomlemom  12587  gsumfzfsumlemm  14086  wilthlem1  15153  lgsval2lem  15167  lgseisenlem1  15227  lgseisenlem2  15228  lgseisenlem3  15229  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  2lgslem1a  15245  supfz  15631