Theorem elfzle2 9442

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9437	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9031	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3845  ‘cfv 5015  (class class class)co 5652   ≤ cle 7523  ℤ_≥cuz 9019  ...cfz 9424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-neg 7656  df-z 8751  df-uz 9020  df-fz 9425

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9449  fzdisj  9466  fznatpl1  9490  fzp1disj  9494  uzdisj  9507  fzneuz  9515  fznuz  9516  elfzmlbm  9542  difelfznle  9546  nn0disj  9549  iseqf1olemqcl  9915  iseqf1olemnab  9917  iseqf1olemab  9918  iseqf1olemqk  9923  iseqf1olemfvp  9926  seq3f1olemqsumkj  9927  seq3f1olemqsumk  9928  seq3f1olemqsum  9929  seq3f1oleml  9932  seq3f1o  9933  bcval4  10160  bcp1nk  10170  zfz1isolemiso  10244  iseqcoll  10247  isummolem3  10770  isummolem2a  10771  fisum  10778  fsumcl2lem  10792  fsum0diaglem  10834  mertenslemi1  10929  fzm1ndvds  11135  prmind2  11380  prmdvdsfz  11398  hashdvds  11475  supfz  11916