Theorem elfzle2 10253

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10247	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9758	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ≤ cle 8205  ℤ_≥cuz 9745  ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10260  fzdisj  10277  fznatpl1  10301  fzp1disj  10305  uzdisj  10318  fzneuz  10326  fznuz  10327  elfzmlbm  10356  difelfznle  10360  nn0disj  10363  iseqf1olemqcl  10751  iseqf1olemnab  10753  iseqf1olemab  10754  iseqf1olemqk  10759  iseqf1olemfvp  10762  seq3f1olemqsumkj  10763  seq3f1olemqsumk  10764  seq3f1olemqsum  10765  seq3f1oleml  10768  seq3f1o  10769  seqf1oglem1  10771  seqf1oglem2  10772  seqfeq4g  10783  bcval4  11004  bcp1nk  11014  zfz1isolemiso  11093  seq3coll  11096  summodclem3  11931  summodclem2a  11932  fsum3  11938  fsumcl2lem  11949  fsum0diaglem  11991  mertenslemi1  12086  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  fprodseq  12134  fzm1ndvds  12407  prmind2  12682  prmdvdsfz  12701  isprm5lem  12703  hashdvds  12783  eulerthlemrprm  12791  eulerthlema  12792  prmdiveq  12798  4sqlem11  12964  4sqlem12  12965  ennnfonelemim  13035  ctinfomlemom  13038  gsumfzfsumlemm  14591  wilthlem1  15694  lgsval2lem  15729  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem3  15791  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  2lgslem1a  15807  supfz  16611