Theorem elfzle2 10027

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10021	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9539	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874   ≤ cle 7992  ℤ_≥cuz 9527  ...cfz 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-neg 8130  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10034  fzdisj  10051  fznatpl1  10075  fzp1disj  10079  uzdisj  10092  fzneuz  10100  fznuz  10101  elfzmlbm  10130  difelfznle  10134  nn0disj  10137  iseqf1olemqcl  10485  iseqf1olemnab  10487  iseqf1olemab  10488  iseqf1olemqk  10493  iseqf1olemfvp  10496  seq3f1olemqsumkj  10497  seq3f1olemqsumk  10498  seq3f1olemqsum  10499  seq3f1oleml  10502  seq3f1o  10503  bcval4  10731  bcp1nk  10741  zfz1isolemiso  10818  seq3coll  10821  summodclem3  11387  summodclem2a  11388  fsum3  11394  fsumcl2lem  11405  fsum0diaglem  11447  mertenslemi1  11542  prodmodclem3  11582  prodmodclem2a  11583  fprodseq  11590  fzm1ndvds  11861  prmind2  12119  prmdvdsfz  12138  isprm5lem  12140  hashdvds  12220  eulerthlemrprm  12228  eulerthlema  12229  prmdiveq  12235  ennnfonelemim  12424  ctinfomlemom  12427  lgsval2lem  14381  lgseisenlem1  14420  lgseisenlem2  14421  supfz  14788