Theorem elfzle2 10262

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10256	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9767	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   ≤ cle 8214  ℤ_≥cuz 9754  ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-neg 8352  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10269  fzdisj  10286  fznatpl1  10310  fzp1disj  10314  uzdisj  10327  fzneuz  10335  fznuz  10336  elfzmlbm  10365  difelfznle  10369  nn0disj  10372  iseqf1olemqcl  10760  iseqf1olemnab  10762  iseqf1olemab  10763  iseqf1olemqk  10768  iseqf1olemfvp  10771  seq3f1olemqsumkj  10772  seq3f1olemqsumk  10773  seq3f1olemqsum  10774  seq3f1oleml  10777  seq3f1o  10778  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  seqfeq4g  10792  bcval4  11013  bcp1nk  11023  zfz1isolemiso  11102  seq3coll  11105  summodclem3  11940  summodclem2a  11941  fsum3  11947  fsumcl2lem  11958  fsum0diaglem  12000  mertenslemi1  12095  prodmodclem3  12135  prodmodclem2a  12136  fprodseq  12143  fzm1ndvds  12416  prmind2  12691  prmdvdsfz  12710  isprm5lem  12712  hashdvds  12792  eulerthlemrprm  12800  eulerthlema  12801  prmdiveq  12807  4sqlem11  12973  4sqlem12  12974  ennnfonelemim  13044  ctinfomlemom  13047  gsumfzfsumlemm  14600  wilthlem1  15703  lgsval2lem  15738  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem3  15800  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  2lgslem1a  15816  supfz  16675  gsumgfsumlem  16683