Theorem elfzle2 10382

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10375	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9884	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ≤ cle 8325  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-neg 8463  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10389  fzdisj  10406  fznatpl1  10432  fzp1disj  10436  uzdisj  10449  fzneuz  10457  fznuz  10458  elfzmlbm  10487  difelfznle  10491  nn0disj  10494  infssfzcldc  10618  infssfzledc  10619  iseqf1olemqcl  10885  iseqf1olemnab  10887  iseqf1olemab  10888  iseqf1olemqk  10893  iseqf1olemfvp  10896  seq3f1olemqsumkj  10897  seq3f1olemqsumk  10898  seq3f1olemqsum  10899  seq3f1oleml  10902  seq3f1o  10903  seqf1oglem1  10905  seqf1oglem2  10906  seqfeq4g  10917  bcval4  11139  bcp1nk  11149  bcm1n  11156  zfz1isolemiso  11236  seq3coll  11239  summodclem3  12091  summodclem2a  12092  fsum3  12098  fsumcl2lem  12109  fsum0diaglem  12151  mertenslemi1  12246  prodmodclem3  12286  prodmodclem2a  12287  fprodseq  12294  fzm1ndvds  12567  prmind2  12842  prmdvdsfz  12861  isprm5lem  12863  hashdvds  12943  eulerthlemrprm  12951  eulerthlema  12952  prmdiveq  12958  4sqlem11  13124  4sqlem12  13125  ballotfilemimin  13193  ballotfilemsdom  13199  ballotfilemsel1i  13200  ballotfilemsima  13203  ballotfilemfrceq  13216  ballotfilemfrcn0  13217  ennnfonelemim  13259  ctinfomlemom  13262  gsumshift  14105  gsumfzfsumlemm  14861  wilthlem1  15974  lgsval2lem  16009  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem3  16071  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  2lgslem1a  16087  supfz  16983