Theorem elfzle2 10386

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10379	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9888	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4115  ‘cfv 5358  (class class class)co 6059   ≤ cle 8326  ℤ_≥cuz 9875  ...cfz 10365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-neg 8465  df-z 9599  df-uz 9876  df-fz 10366

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10393  fzdisj  10410  fznatpl1  10436  fzp1disj  10440  uzdisj  10453  fzneuz  10461  fznuz  10462  elfzmlbm  10491  difelfznle  10495  nn0disj  10498  infssfzcldc  10622  infssfzledc  10623  iseqf1olemqcl  10889  iseqf1olemnab  10891  iseqf1olemab  10892  iseqf1olemqk  10897  iseqf1olemfvp  10900  seq3f1olemqsumkj  10901  seq3f1olemqsumk  10902  seq3f1olemqsum  10903  seq3f1oleml  10906  seq3f1o  10907  seqf1oglem1  10909  seqf1oglem2  10910  seqfeq4g  10921  bcval4  11143  bcp1nk  11153  bcm1n  11160  zfz1isolemiso  11240  seq3coll  11243  summodclem3  12096  summodclem2a  12097  fsum3  12103  fsumcl2lem  12114  fsum0diaglem  12156  mertenslemi1  12251  prodmodclem3  12291  prodmodclem2a  12292  fprodseq  12299  fzm1ndvds  12572  prmind2  12847  prmdvdsfz  12866  isprm5lem  12868  hashdvds  12948  eulerthlemrprm  12956  eulerthlema  12957  prmdiveq  12963  4sqlem11  13129  4sqlem12  13130  ballotfilemimin  13198  ballotfilemsdom  13204  ballotfilemsel1i  13205  ballotfilemsima  13208  ballotfilemfrceq  13221  ballotfilemfrcn0  13222  ennnfonelemim  13264  ctinfomlemom  13267  gsumshift  14110  gsumfzfsumlemm  14866  wilthlem1  15979  lgsval2lem  16014  lgseisenlem1  16074  lgseisenlem2  16075  lgseisenlem3  16076  lgsquadlem1  16081  lgsquadlem2  16082  2lgslem1a  16092  supfz  16997