Theorem elfzle2 10236

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 10230	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9746	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ≤ cle 8193  ℤ_≥cuz 9733  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10243  fzdisj  10260  fznatpl1  10284  fzp1disj  10288  uzdisj  10301  fzneuz  10309  fznuz  10310  elfzmlbm  10339  difelfznle  10343  nn0disj  10346  iseqf1olemqcl  10733  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemab  10736  iseqf1olemqk  10741  iseqf1olemfvp  10744  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsumk  10746  seq3f1olemqsum  10747  seq3f1oleml  10750  seq3f1o  10751  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  seqfeq4g  10765  bcval4  10986  bcp1nk  10996  zfz1isolemiso  11074  seq3coll  11077  summodclem3  11906  summodclem2a  11907  fsum3  11913  fsumcl2lem  11924  fsum0diaglem  11966  mertenslemi1  12061  prodmodclem3  12101  prodmodclem2a  12102  fprodseq  12109  fzm1ndvds  12382  prmind2  12657  prmdvdsfz  12676  isprm5lem  12678  hashdvds  12758  eulerthlemrprm  12766  eulerthlema  12767  prmdiveq  12773  4sqlem11  12939  4sqlem12  12940  ennnfonelemim  13010  ctinfomlemom  13013  gsumfzfsumlemm  14566  wilthlem1  15669  lgsval2lem  15704  lgseisenlem1  15764  lgseisenlem2  15765  lgseisenlem3  15766  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  2lgslem1a  15782  supfz  16499