Theorem f1ghm0to0 13402

Description: If a group homomorphism 𝐹 is injective, it maps the zero of one group (and only the zero) to the zero of the other group. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1ghm0to0.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
f1ghm0to0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
f1ghm0to0.n	⊢ 𝑁 = (0g‘𝑅)
f1ghm0to0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
f1ghm0to0	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑁))

Proof of Theorem f1ghm0to0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ghm0to0.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (0g‘𝑅)
2		f1ghm0to0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
3	1, 2	ghmid 13379	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘𝑁) = 0 )
4	3	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑁) = 0 )
5	4	eqeq2d 2208	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑁) ↔ (𝐹‘𝑋) = 0 ))
6		simp2 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
7		simp3 1001	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		ghmgrp1 13375	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
9		f1ghm0to0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑅)
10	9, 1	grpidcl 13161	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑁 ∈ 𝐴)
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑁 ∈ 𝐴)
12	11	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ 𝐴)
13		f1veqaeq 5816	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑁) → 𝑋 = 𝑁))
14	6, 7, 12, 13	syl12anc 1247	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑁) → 𝑋 = 𝑁))
15	5, 14	sylbird 170	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 0 → 𝑋 = 𝑁))
16		fveq2 5558	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑁 → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑁))
17	16, 4	sylan9eqr 2251	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 𝑁) → (𝐹‘𝑋) = 0 )
18	17	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = 𝑁 → (𝐹‘𝑋) = 0 ))
19	15, 18	impbid 129	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  –1-1→wf1 5255  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  0_gc0g 12927  Grpcgrp 13132   GrpHom cghm 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-ghm 13371

This theorem is referenced by:  ghmf1  13403  kerf1ghm  13404