Theorem ghmeqker 13227

Description: Two source points map to the same destination point under a group homomorphism iff their difference belongs to the kernel. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmeqker.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ghmeqker.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
ghmeqker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmeqker.m	⊢ − = (-g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ghmeqker	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) ↔ (𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐾))

Proof of Theorem ghmeqker

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmeqker.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
2		ghmeqker.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
3	2	sneqi 3619	. . . . . 6 ⊢ { 0 } = {(0g‘𝑇)}
4	3	imaeq2i 4986	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ { 0 }) = (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)})
5	1, 4	eqtri 2210	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)})
6	5	eleq2i 2256	. . 3 ⊢ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐾 ↔ (𝑈 − 𝑉) ∈ (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)}))
7		ghmeqker.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		eqid 2189	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
9	7, 8	ghmf 13203	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
10	9	ffnd 5385	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹 Fn 𝐵)
11	10	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
12		fniniseg 5657	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → ((𝑈 − 𝑉) ∈ (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)}) ↔ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇))))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝑈 − 𝑉) ∈ (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)}) ↔ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇))))
14	6, 13	bitrid 192	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐾 ↔ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇))))
15		ghmgrp1 13201	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
16		ghmeqker.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑆)
17	7, 16	grpsubcl 13039	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵)
18	15, 17	syl3an1 1282	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵)
19	18	biantrurd 305	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇) ↔ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇))))
20		eqid 2189	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑇) = (-g‘𝑇)
21	7, 16, 20	ghmsub 13207	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)))
22	21	eqeq1d 2198	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇) ↔ ((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)) = (0g‘𝑇)))
23	19, 22	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇)) ↔ ((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)) = (0g‘𝑇)))
24		ghmgrp2 13202	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Grp)
25	24	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ Grp)
26	9	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
27		simp2 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝐵)
28	26, 27	ffvelcdmd 5673	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇))
29		simp3 1001	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
30	26, 29	ffvelcdmd 5673	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇))
31		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
32	8, 31, 20	grpsubeq0 13045	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)) → (((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)) = (0g‘𝑇) ↔ (𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉)))
33	25, 28, 30, 32	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)) = (0g‘𝑇) ↔ (𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉)))
34	14, 23, 33	3bitrrd 215	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) ↔ (𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {csn 3607  ^◡ccnv 4643   “ cima 4647   Fn wfn 5230  ⟶wf 5231  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  Basecbs 12515  0_gc0g 12764  Grpcgrp 12960  -_gcsg 12962   GrpHom cghm 13196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-inn 8951  df-2 9009  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-sbg 12965  df-ghm 13197

This theorem is referenced by:  kerf1ghm  13230