Theorem ghmeqker 14133

Description: Two source points map to the same destination point under a group homomorphism iff their difference belongs to the kernel. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmeqker.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
ghmeqker.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
ghmeqker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmeqker.m	⊢ − = (-g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ghmeqker	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) ↔ (𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐾))

Proof of Theorem ghmeqker

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmeqker.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
2		ghmeqker.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
3	2	sneqi 3721	. . . . . 6 ⊢ { 0 } = {(0g‘𝑇)}
4	3	imaeq2i 5127	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ { 0 }) = (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)})
5	1, 4	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)})
6	5	eleq2i 2305	. . 3 ⊢ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐾 ↔ (𝑈 − 𝑉) ∈ (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)}))
7		ghmeqker.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
9	7, 8	ghmf 14109	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
10	9	ffnd 5537	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹 Fn 𝐵)
11	10	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
12		fniniseg 5832	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐵 → ((𝑈 − 𝑉) ∈ (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)}) ↔ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇))))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝑈 − 𝑉) ∈ (◡𝐹 “ {(0g‘𝑇)}) ↔ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇))))
14	6, 13	bitrid 192	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐾 ↔ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇))))
15		ghmgrp1 14107	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
16		ghmeqker.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑆)
17	7, 16	grpsubcl 13944	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵)
18	15, 17	syl3an1 1311	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵)
19	18	biantrurd 305	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇) ↔ ((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇))))
20		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑇) = (-g‘𝑇)
21	7, 16, 20	ghmsub 14113	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = ((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)))
22	21	eqeq1d 2247	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇) ↔ ((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)) = (0g‘𝑇)))
23	19, 22	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (((𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑈 − 𝑉)) = (0g‘𝑇)) ↔ ((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)) = (0g‘𝑇)))
24		ghmgrp2 14108	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Grp)
25	24	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ Grp)
26	9	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
27		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝐵)
28	26, 27	ffvelcdmd 5847	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇))
29		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝐵)
30	26, 29	ffvelcdmd 5847	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇))
31		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
32	8, 31, 20	grpsubeq0 13950	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑈) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹‘𝑉) ∈ (Base‘𝑇)) → (((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)) = (0g‘𝑇) ↔ (𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉)))
33	25, 28, 30, 32	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝑈)(-g‘𝑇)(𝐹‘𝑉)) = (0g‘𝑇) ↔ (𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉)))
34	14, 23, 33	3bitrrd 215	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑈) = (𝐹‘𝑉) ↔ (𝑈 − 𝑉) ∈ 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  0_gc0g 13669  Grpcgrp 13864  -_gcsg 13866   GrpHom cghm 14102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-sbg 13869  df-ghm 14103

This theorem is used by:  kerf1ghm  14136