Theorem ghmpropd 13413

Description: Group homomorphism depends only on the group attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmpropd.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
ghmpropd.b	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
ghmpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
ghmpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
ghmpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
ghmpropd.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
ghmpropd	⊢ (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem ghmpropd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmpropd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐽))
2		ghmpropd.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		ghmpropd.e	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4	1, 2, 3	grppropd 13149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp))
5		ghmpropd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝐾))
6		ghmpropd.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘𝑀))
7		ghmpropd.f	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
8	5, 6, 7	grppropd 13149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Grp ↔ 𝑀 ∈ Grp))
9	4, 8	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ Grp) ↔ (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp)))
10	1, 5, 2, 6, 3, 7	mhmpropd 13098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 MndHom 𝐾) = (𝐿 MndHom 𝑀))
11	10	eleq2d 2266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 MndHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 MndHom 𝑀)))
12	9, 11	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ Grp) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 MndHom 𝐾)) ↔ ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) ∧ 𝑓 ∈ (𝐿 MndHom 𝑀))))
13		ghmgrp1 13375	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) → 𝐽 ∈ Grp)
14		ghmgrp2 13376	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) → 𝐾 ∈ Grp)
15	13, 14	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) → (𝐽 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ Grp))
16		ghmmhmb 13384	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐽 MndHom 𝐾))
17	16	eleq2d 2266	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ Grp) → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 MndHom 𝐾)))
18	15, 17	biadanii 613	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Grp ∧ 𝐾 ∈ Grp) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 MndHom 𝐾)))
19		ghmgrp1 13375	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) → 𝐿 ∈ Grp)
20		ghmgrp2 13376	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) → 𝑀 ∈ Grp)
21	19, 20	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) → (𝐿 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp))
22		ghmmhmb 13384	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) → (𝐿 GrpHom 𝑀) = (𝐿 MndHom 𝑀))
23	22	eleq2d 2266	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) → (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 MndHom 𝑀)))
24	21, 23	biadanii 613	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ Grp) ∧ 𝑓 ∈ (𝐿 MndHom 𝑀)))
25	12, 18, 24	3bitr4g 223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
26	25	eqrdv 2194	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755   MndHom cmhm 13089  Grpcgrp 13132   GrpHom cghm 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091  df-grp 13135  df-ghm 13371

This theorem is referenced by:  rhmpropd  13810