Theorem relogiso 14936

Description: The natural logarithm function on positive reals determines an isomorphism from the positive reals onto the reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relogiso	⊢ (log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ)

Proof of Theorem relogiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reefiso 14840	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+)
2		isocnv 5842	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+) → ◡(exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ+, ℝ))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡(exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ+, ℝ)
4		dfrelog 14923	. . 3 ⊢ (log ↾ ℝ+) = ◡(exp ↾ ℝ)
5		isoeq1 5832	. . 3 ⊢ ((log ↾ ℝ+) = ◡(exp ↾ ℝ) → ((log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ) ↔ ◡(exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ+, ℝ)))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ) ↔ ◡(exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ+, ℝ))
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ (log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364  ^◡ccnv 4650   ↾ cres 4653   Isom wiso 5243  ℝcr 7857   < clt 8040  ℝ⁺crp 9705  expce 11759  logclog 14919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978  ax-pre-suploc 7979  ax-addf 7980  ax-mulf 7981

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-disj 4003  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-isom 5251  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-of 6118  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-irdg 6410  df-frec 6431  df-1o 6456  df-oadd 6460  df-er 6574  df-map 6691  df-pm 6692  df-en 6782  df-dom 6783  df-fin 6784  df-sup 7029  df-inf 7030  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-xneg 9824  df-xadd 9825  df-ioo 9944  df-ico 9946  df-icc 9947  df-fz 10061  df-fzo 10195  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-fac 10771  df-bc 10793  df-ihash 10821  df-shft 10933  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-clim 11396  df-sumdc 11471  df-ef 11765  df-e 11766  df-rest 12826  df-topgen 12845  df-psmet 14003  df-xmet 14004  df-met 14005  df-bl 14006  df-mopn 14007  df-top 14123  df-topon 14136  df-bases 14168  df-ntr 14221  df-cn 14313  df-cnp 14314  df-tx 14378  df-cncf 14683  df-limced 14767  df-dvap 14768  df-relog 14921

This theorem is referenced by:  logltb  14937