Theorem lidlbas 14407

Description: A (left) ideal of a ring is the base set of the restriction of the ring to this ideal. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlssbas.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlssbas.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlbas	⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)

Proof of Theorem lidlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlssbas.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈))
3		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5		lidlssbas.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
6	5	lidlmex 14404	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑅 ∈ V)
7		id 19	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ∈ 𝐿)
8	2, 4, 6, 7	ressbasd 13066	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝐼))
9	3, 5	lidlss 14405	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
10		df-ss 3190	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = 𝑈)
11	9, 10	sylib 122	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = 𝑈)
12	8, 11	eqtr3d 2244	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779   ∩ cin 3176   ⊆ wss 3177  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998   ↾_s cress 12999  LIdealclidl 14396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-lssm 14282  df-sra 14364  df-rgmod 14365  df-lidl 14398

This theorem is referenced by:  rnglidlmmgm  14425