Theorem lidlbas 14485

Description: A (left) ideal of a ring is the base set of the restriction of the ring to this ideal. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlssbas.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlssbas.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlbas	⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)

Proof of Theorem lidlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlssbas.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈))
3		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5		lidlssbas.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
6	5	lidlmex 14482	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑅 ∈ V)
7		id 19	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ∈ 𝐿)
8	2, 4, 6, 7	ressbasd 13143	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝐼))
9	3, 5	lidlss 14483	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
10		df-ss 3211	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = 𝑈)
11	9, 10	sylib 122	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = 𝑈)
12	8, 11	eqtr3d 2264	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075   ↾_s cress 13076  LIdealclidl 14474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-lssm 14360  df-sra 14442  df-rgmod 14443  df-lidl 14476

This theorem is referenced by:  rnglidlmmgm  14503