Theorem lidlbas 14925

Description: A (left) ideal of a ring is the base set of the restriction of the ring to this ideal. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlssbas.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlssbas.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlbas	⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)

Proof of Theorem lidlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlssbas.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈))
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5		lidlssbas.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
6	5	lidlmex 14922	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑅 ∈ V)
7		id 19	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ∈ 𝐿)
8	2, 4, 6, 7	ressbasd 13481	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝐼))
9	3, 5	lidlss 14923	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
10		df-ss 3233	. . 3 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ↔ (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = 𝑈)
11	9, 10	sylib 122	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = 𝑈)
12	8, 11	eqtr3d 2273	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411   ↾_s cress 13412  LIdealclidl 14914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-lssm 14800  df-sra 14882  df-rgmod 14883  df-lidl 14916

This theorem is used by:  rnglidlmmgm  14943