Theorem lspprvacl 14553

Description: The sum of two vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprvacl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprvacl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspprvacl.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprvacl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprvacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprvacl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprvacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprvacl.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspprvacl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2232	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		lspprvacl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspprvacl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lspprvacl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 1, 5, 6	lspprcl 14533	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 4, 1, 5, 6	lspprid1 14551	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9	2, 4, 1, 5, 6	lspprid2 14552	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10		lspprvacl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
11	10, 3	lssvacl 14505	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
12	1, 7, 8, 9, 11	syl22anc 1275	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cpr 3689  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204  +_gcplusg 13282  LModclmod 14427  LSubSpclss 14492  LSpanclspn 14526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-sbg 13710  df-mgp 14057  df-ur 14096  df-ring 14134  df-lmod 14429  df-lssm 14493  df-lsp 14527

This theorem is referenced by: (None)