Theorem dvdsprmpweqle 12903

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweqle	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsprmpweq 12901	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
2	1	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
3		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9593	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
5		simp3 1023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 9593	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		zlelttric 9517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛))
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛))
10		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁)))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁)))
12		prmnn 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
14	13	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
17	15, 16	nn0expcld 10951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ)
19	12	nncnd 9150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
20	19	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
22	12	nnap0d 9182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 # 0)
23	22	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 # 0)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 # 0)
25		nn0z 9492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	21, 24, 26	expap0d 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) # 0)
28		0zd 9484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
29		zapne 9547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑛) # 0 ↔ (𝑃↑𝑛) ≠ 0))
30	18, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) # 0 ↔ (𝑃↑𝑛) ≠ 0))
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ≠ 0)
32	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	15, 32	nn0expcld 10951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
35		dvdsval2 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑛) ≠ 0 ∧ (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ))
36	18, 31, 34, 35	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ))
37	32	nn0zd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	21, 24, 26, 37	expsubapd 10939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)))
39	38	eqcomd 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) = (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)))
40	39	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ ↔ (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ))
41	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℂ)
42	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 # 0)
43		nn0cn 9405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
44	43	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
46		nn0cn 9405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
48	45, 47	subcld 8483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ)
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ)
50	44, 46	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
52		negsubdi2 8431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁))
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁))
54	5	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
55		ltsubnn0 9540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
57	56	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
58	53, 57	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁 − 𝑛) ∈ ℕ0)
59		expineg2 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 # 0) ∧ ((𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ -(𝑁 − 𝑛) ∈ ℕ0)) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
60	41, 42, 49, 58, 59	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
61	60	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ ↔ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ))
62	12	nnred 9149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
63	62	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℝ)
66	65, 57	reexpcld 10945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ)
67		nn0z 9492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
69	68, 25	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
70		znnsub 9524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ))
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ))
72	71	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ)
73		prmgt1 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
74	73	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < 𝑃)
77		expgt1 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
78	65, 72, 76, 77	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
79	66, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁))))
80		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) = (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
81	80	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ↔ (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ))
82	80	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ↔ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁))))
83	81, 82	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ↔ ((𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))))
84	79, 83	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)))))
85	53, 84	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
86		recnz 9566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ)
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ)
88	87	pm2.21d 622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁))
89	61, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁))
90	89	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁)))
91	90	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
92	40, 91	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
93	36, 92	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
95	11, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
96	95	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))))
97	96	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))))
98	97	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))))
99	98	com23 78	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))))
100	99	imp41 353	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))
101	100	com12 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 𝑛 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁))
102	101	jao1i 801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛) → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁))
103	9, 102	mpcom 36	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁)
104		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
105	103, 104	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
106	105	ex 115	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
107	106	reximdva 2632	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
108	2, 107	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
109	108	ex 115	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  ℝcr 8024  0cc0 8025  1c1 8026   < clt 8207   ≤ cle 8208   − cmin 8343  -cneg 8344   # cap 8754   / cdiv 8845  ℕcn 9136  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  ↑cexp 10793   ∥ cdvds 12341  ℙcprime 12672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-xnn0 9459  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-gcd 12518  df-prm 12673  df-pc 12851

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