Theorem dvdsprmpweqle 12915

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweqle	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsprmpweq 12913	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
2	1	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
3		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 9600	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
5		simp3 1025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 9600	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		zlelttric 9524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛))
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛))
10		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁)))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁)))
12		prmnn 12687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 9455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
14	13	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
17	15, 16	nn0expcld 10959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ)
19	12	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
20	19	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
22	12	nnap0d 9189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 # 0)
23	22	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 # 0)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 # 0)
25		nn0z 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	21, 24, 26	expap0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) # 0)
28		0zd 9491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
29		zapne 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑛) # 0 ↔ (𝑃↑𝑛) ≠ 0))
30	18, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) # 0 ↔ (𝑃↑𝑛) ≠ 0))
31	27, 30	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ≠ 0)
32	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	15, 32	nn0expcld 10959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
35		dvdsval2 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑛) ≠ 0 ∧ (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ))
36	18, 31, 34, 35	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ))
37	32	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	21, 24, 26, 37	expsubapd 10947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)))
39	38	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) = (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)))
40	39	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ ↔ (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ))
41	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℂ)
42	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 # 0)
43		nn0cn 9412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
44	43	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
46		nn0cn 9412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
48	45, 47	subcld 8490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ)
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ)
50	44, 46	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
52		negsubdi2 8438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁))
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁))
54	5	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
55		ltsubnn0 9547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
56	54, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
57	56	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
58	53, 57	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁 − 𝑛) ∈ ℕ0)
59		expineg2 10811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 # 0) ∧ ((𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ -(𝑁 − 𝑛) ∈ ℕ0)) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
60	41, 42, 49, 58, 59	syl22anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
61	60	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ ↔ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ))
62	12	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
63	62	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℝ)
66	65, 57	reexpcld 10953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ)
67		nn0z 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
69	68, 25	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
70		znnsub 9531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ))
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ))
72	71	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ)
73		prmgt1 12709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
74	73	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < 𝑃)
77		expgt1 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
78	65, 72, 76, 77	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
79	66, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁))))
80		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) = (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
81	80	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ↔ (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ))
82	80	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ↔ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁))))
83	81, 82	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ↔ ((𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))))
84	79, 83	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)))))
85	53, 84	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
86		recnz 9573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ)
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ)
88	87	pm2.21d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁))
89	61, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁))
90	89	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁)))
91	90	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
92	40, 91	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
93	36, 92	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
95	11, 94	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
96	95	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))))
97	96	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))))
98	97	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))))
99	98	com23 78	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))))
100	99	imp41 353	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))
101	100	com12 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 𝑛 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁))
102	101	jao1i 803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛) → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁))
103	9, 102	mpcom 36	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁)
104		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
105	103, 104	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
106	105	ex 115	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
107	106	reximdva 2634	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
108	2, 107	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
109	108	ex 115	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350  -cneg 8351   # cap 8761   / cdiv 8852  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ↑cexp 10801   ∥ cdvds 12353  ℙcprime 12684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-xnn0 9466  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-dvds 12354  df-gcd 12530  df-prm 12685  df-pc 12863

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