Theorem abs2difabs 11818

Description: Absolute value of difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abs2difabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem abs2difabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abs2dif 11816	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
2	1	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
3		abscl 11761	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 8318	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
5		abscl 11761	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
6	5	recnd 8318	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
7		negsubdi2 8548	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
8	4, 6, 7	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
9		abssub 11811	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
10	2, 8, 9	3brtr4d 4146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
11		abs2dif 11816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
12		resubcl 8553	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	3, 5, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		subcl 8488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
15		abscl 11761	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
17		absle 11799	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
18	13, 16, 17	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
19		lenegcon1 8757	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
20	13, 16, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
21	20	anbi1d 465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
22	18, 21	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
23	10, 11, 22	mpbir2and 953	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142   ≤ cle 8325   − cmin 8460  -cneg 8461  abscabs 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by:  abs2difabsd  11909  abscn2  12025