Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzshftral GIF version

Theorem fzshftral 9939
 Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 9109 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 fzrevral 9936 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
31, 2mp3an3 1305 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
433adant3 1002 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
5 zsubcl 9139 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
61, 5mpan 421 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
7 zsubcl 9139 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
81, 7mpan 421 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
9 id 19 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
10 fzrevral 9936 . . . 4 (((0 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (0 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
116, 8, 9, 10syl3an 1259 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
12113com12 1186 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
13 elfzelz 9857 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 zsubcl 9139 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐾𝑘) ∈ ℤ)
15 oveq2 5791 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐾𝑘) → (0 − 𝑥) = (0 − (𝐾𝑘)))
1615sbcco3g 3063 . . . . . . 7 ((𝐾𝑘) ∈ ℤ → ([(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
1714, 16syl 14 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ([(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
1813, 17sylan2 284 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))) → ([(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
1918ralbidva 2435 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
20193ad2ant3 1005 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
21 zcn 9103 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
22 zcn 9103 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23 zcn 9103 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
24 df-neg 7980 . . . . . . . . . 10 -𝑀 = (0 − 𝑀)
2524oveq2i 5794 . . . . . . . . 9 (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 − (0 − 𝑀))
26 subneg 8055 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 + 𝑀))
27 addcom 7943 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
2826, 27eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
2925, 28syl5eqr 2187 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
30293adant3 1002 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
31 df-neg 7980 . . . . . . . . . 10 -𝑁 = (0 − 𝑁)
3231oveq2i 5794 . . . . . . . . 9 (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 − (0 − 𝑁))
33 subneg 8055 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 + 𝑁))
34 addcom 7943 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
3533, 34eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
3632, 35syl5eqr 2187 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
37363adant2 1001 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
3830, 37oveq12d 5801 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
39383coml 1189 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4021, 22, 23, 39syl3an 1259 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4140raleqdv 2636 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
42 elfzelz 9857 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4342zcnd 9218 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
44 df-neg 7980 . . . . . . . 8 -(𝐾𝑘) = (0 − (𝐾𝑘))
45 negsubdi2 8065 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → -(𝐾𝑘) = (𝑘𝐾))
4644, 45syl5eqr 2187 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − (𝐾𝑘)) = (𝑘𝐾))
4723, 43, 46syl2an 287 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (0 − (𝐾𝑘)) = (𝑘𝐾))
4847sbceq1d 2919 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ([(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
4948ralbidva 2435 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
50493ad2ant3 1005 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
5120, 41, 503bitrd 213 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
524, 12, 513bitrd 213 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  [wsbc 2914  (class class class)co 5783  ℂcc 7662  0cc0 7664   + caddc 7667   − cmin 7977  -cneg 7978  ℤcz 9098  ...cfz 9841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-fz 9842 This theorem is referenced by:  fzoshftral  10066
 Copyright terms: Public domain W3C validator