Theorem fzshftral 10177

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzshftral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzshftral

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9331	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzrevral 10174	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
3	1, 2	mp3an3 1337	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
4	3	3adant3 1019	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
5		zsubcl 9361	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
7		zsubcl 9361	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
8	1, 7	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
9		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
10		fzrevral 10174	. . . 4 ⊢ (((0 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (0 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
11	6, 8, 9, 10	syl3an 1291	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
12	11	3com12 1209	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
13		elfzelz 10094	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
14		zsubcl 9361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ)
15		oveq2 5927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 − 𝑘) → (0 − 𝑥) = (0 − (𝐾 − 𝑘)))
16	15	sbcco3g 3139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 − 𝑘) ∈ ℤ → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ [(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
17	14, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ [(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
18	13, 17	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))) → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ [(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
19	18	ralbidva 2490	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
20	19	3ad2ant3 1022	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
21		zcn 9325	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
22		zcn 9325	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23		zcn 9325	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
24		df-neg 8195	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝑀 = (0 − 𝑀)
25	24	oveq2i 5930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 − (0 − 𝑀))
26		subneg 8270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 + 𝑀))
27		addcom 8158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
28	26, 27	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
29	25, 28	eqtr3id 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
30	29	3adant3 1019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
31		df-neg 8195	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
32	31	oveq2i 5930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 − (0 − 𝑁))
33		subneg 8270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 + 𝑁))
34		addcom 8158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
35	33, 34	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
36	32, 35	eqtr3id 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
37	36	3adant2 1018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
38	30, 37	oveq12d 5937	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
39	38	3coml 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
40	21, 22, 23, 39	syl3an 1291	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
41	40	raleqdv 2696	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑))
42		elfzelz 10094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
43	42	zcnd 9443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
44		df-neg 8195	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝐾 − 𝑘) = (0 − (𝐾 − 𝑘))
45		negsubdi2 8280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → -(𝐾 − 𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
46	44, 45	eqtr3id 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − (𝐾 − 𝑘)) = (𝑘 − 𝐾))
47	23, 43, 46	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (0 − (𝐾 − 𝑘)) = (𝑘 − 𝐾))
48	47	sbceq1d 2991	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ([(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ [(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
49	48	ralbidva 2490	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
50	49	3ad2ant3 1022	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾 − 𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
51	20, 41, 50	3bitrd 214	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))
52	4, 12, 51	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘 − 𝐾) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  [wsbc 2986  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874   + caddc 7877   − cmin 8192  -cneg 8193  ℤcz 9320  ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  fzoshftral  10308