ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzshftral GIF version

Theorem fzshftral 9489
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 8731 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 fzrevral 9486 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
31, 2mp3an3 1262 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
433adant3 963 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
5 zsubcl 8761 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
61, 5mpan 415 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 − 𝑁) ∈ ℤ)
7 zsubcl 8761 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
81, 7mpan 415 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (0 − 𝑀) ∈ ℤ)
9 id 19 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
10 fzrevral 9486 . . . 4 (((0 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (0 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
116, 8, 9, 10syl3an 1216 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
12113com12 1147 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑))
13 elfzelz 9409 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 zsubcl 8761 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐾𝑘) ∈ ℤ)
15 oveq2 5642 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐾𝑘) → (0 − 𝑥) = (0 − (𝐾𝑘)))
1615sbcco3g 2983 . . . . . . 7 ((𝐾𝑘) ∈ ℤ → ([(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
1714, 16syl 14 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ([(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
1813, 17sylan2 280 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))) → ([(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
1918ralbidva 2376 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
20193ad2ant3 966 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
21 zcn 8725 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
22 zcn 8725 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23 zcn 8725 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
24 df-neg 7635 . . . . . . . . . 10 -𝑀 = (0 − 𝑀)
2524oveq2i 5645 . . . . . . . . 9 (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 − (0 − 𝑀))
26 subneg 7710 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 + 𝑀))
27 addcom 7598 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
2826, 27eqtrd 2120 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
2925, 28syl5eqr 2134 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
30293adant3 963 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
31 df-neg 7635 . . . . . . . . . 10 -𝑁 = (0 − 𝑁)
3231oveq2i 5645 . . . . . . . . 9 (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 − (0 − 𝑁))
33 subneg 7710 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 + 𝑁))
34 addcom 7598 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
3533, 34eqtrd 2120 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
3632, 35syl5eqr 2134 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
37363adant2 962 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
3830, 37oveq12d 5652 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
39383coml 1150 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4021, 22, 23, 39syl3an 1216 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4140raleqdv 2568 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑))
42 elfzelz 9409 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4342zcnd 8839 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
44 df-neg 7635 . . . . . . . 8 -(𝐾𝑘) = (0 − (𝐾𝑘))
45 negsubdi2 7720 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → -(𝐾𝑘) = (𝑘𝐾))
4644, 45syl5eqr 2134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 − (𝐾𝑘)) = (𝑘𝐾))
4723, 43, 46syl2an 283 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (0 − (𝐾𝑘)) = (𝑘𝐾))
4847sbceq1d 2843 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ([(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
4948ralbidva 2376 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
50493ad2ant3 966 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
5120, 41, 503bitrd 212 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑥][(0 − 𝑥) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
524, 12, 513bitrd 212 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  [wsbc 2838  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329   + caddc 7332  cmin 7632  -cneg 7633  cz 8720  ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
This theorem is referenced by:  fzoshftral  9614
  Copyright terms: Public domain W3C validator