Theorem ntrivcvgap0 11695

Description: A product that converges to a value apart from zero converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ntrivcvgn0.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgap0.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 # 0)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgap0	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝑦,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑛)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem ntrivcvgap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgn0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 9609	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		ntrivcvgn0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2287	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
6		ntrivcvgn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
7		climrel 11426	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
8	7	brrelex2i 4704	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
9	6, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
10		ntrivcvgap0.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 # 0)
11	10, 6	jca 306	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 # 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
12		breq1 4033	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 # 0 ↔ 𝑋 # 0))
13		breq2 4034	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
14	12, 13	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 # 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑋 # 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)))
15	9, 11, 14	elabd 2906	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
16		seqeq1 10524	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
17	16	breq1d 4040	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
18	17	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 # 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
19	18	exbidv 1836	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
20	19	rspcev 2865	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
21	5, 15, 20	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  0cc0 7874   · cmul 7879   # cap 8602  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  seqcseq 10521   ⇝ cli 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-clim 11425

This theorem is referenced by:  zprodap0  11727