Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zprodap0 GIF version

Theorem zprodap0 11471
 Description: Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprodn0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
zprodn0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
zprodap0.3 (𝜑𝑋 # 0)
zprodn0.4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
zprodap0.dc (𝜑 → ∀𝑗𝑍 DECID 𝑗𝐴)
zprodn0.5 (𝜑𝐴𝑍)
zprodn0.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
zprodn0.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
zprodap0 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem zprodap0
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zprodn0.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 zprodn0.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 zprodn0.4 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
4 zprodap0.3 . . . 4 (𝜑𝑋 # 0)
51, 2, 3, 4ntrivcvgap0 11439 . . 3 (𝜑 → ∃𝑚𝑍𝑥(𝑥 # 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
6 zprodn0.5 . . 3 (𝜑𝐴𝑍)
7 zprodap0.dc . . 3 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 DECID 𝑗𝐴)
8 zprodn0.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
9 zprodn0.7 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
101, 2, 5, 6, 7, 8, 9zproddc 11469 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
11 fclim 11184 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12 ffun 5321 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
1311, 12ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
14 funbrfv 5506 . . 3 (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
1513, 3, 14mpsyl 65 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
1610, 15eqtrd 2190 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 𝑋)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435   ⊆ wss 3102  ifcif 3505   class class class wbr 3965  dom cdm 4585  Fun wfun 5163  ⟶wf 5165  ‘cfv 5169  ℂcc 7724  0cc0 7726  1c1 7727   · cmul 7731   # cap 8450  ℤcz 9161  ℤ≥cuz 9433  seqcseq 10337   ⇝ cli 11168  ∏cprod 11440 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-proddc 11441 This theorem is referenced by:  iprodap0  11472  prod0  11475  prod1dc  11476
 Copyright terms: Public domain W3C validator