Theorem zprodap0 12132

Description: Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
zprodn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
zprodap0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 # 0)
zprodn0.4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
zprodap0.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
zprodn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
zprodn0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
zprodn0.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
zprodap0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem zprodap0

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		zprodn0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zprodn0.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
4		zprodap0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 # 0)
5	1, 2, 3, 4	ntrivcvgap0 12100	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑥(𝑥 # 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
6		zprodn0.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
7		zprodap0.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑍 DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
8		zprodn0.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
9		zprodn0.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9	zproddc 12130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
11		fclim 11845	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12		ffun 5482	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
14		funbrfv 5678	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
15	13, 3, 14	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
16	10, 15	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3198  ifcif 3603   class class class wbr 4086  dom cdm 4723  Fun wfun 5318  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  ℂcc 8020  0cc0 8022  1c1 8023   · cmul 8027   # cap 8751  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  seqcseq 10699   ⇝ cli 11829  ∏cprod 12101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-proddc 12102

This theorem is referenced by:  iprodap0  12133  prod0  12136  prod1dc  12137