Theorem ofrfidc 7318

Description: Decidability of a relation applied to two functions. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofrfidc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
ofrfidc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
ofrfidc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))
ofrfidc.fi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ofrfidc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐹 ∘𝑟 𝑅𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ofrfidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofrfidc.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		ofrfidc.dc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))
3		dcfi 7315	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)) → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))
5		ofrfidc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
6		ofrfidc.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
7		inidm 3440	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
8		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
9		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
10	5, 6, 1, 1, 7, 8, 9	ofrfval 6311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑟 𝑅𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
11	10	dcbid 850	. 2 ⊢ (𝜑 → (DECID 𝐹 ∘𝑟 𝑅𝐺 ↔ DECID ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
12	4, 11	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐹 ∘𝑟 𝑅𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4130   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377   ∘_𝑟 cofr 6301  Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ofr 6303  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  psrbaglefifi  15114