Theorem psrbaglefimap 15183

Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Nov-2026.)

Assertion

Ref	Expression
psrbaglefimap	⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼

Proof of Theorem psrbaglefimap

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6949	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
3		nn0ssz 9672	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ℕ0 ⊆ ℤ)
5	2, 4	fssd 5550	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹:𝐼⟶ℤ)
6		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
7	5, 6	fiidxsupcl 12018	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)
8		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
9	8	breq1d 4141	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥))
10	9	cbvralv 2786	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)
11	10	anbi2i 461	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥))
12		elmapi 6949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥))
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥))
14		fz0ssnn0 10540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...𝑥) ⊆ ℕ0
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → (0...𝑥) ⊆ ℕ0)
16	13, 15	fssd 5550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
17		nn0ex 9581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → ℕ0 ∈ V)
19		simp-4r 548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
20	18, 19	elmapd 6941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
21	16, 20	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
22		elmapi 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
23	22	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
24	23	ffnd 5537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦 Fn 𝐼)
25		fvelrnb 5753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 Fn 𝐼 → (𝑝 ∈ ran 𝑦 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑞) = 𝑝))
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑝 ∈ ran 𝑦 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑞) = 𝑝))
27	26	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑞) = 𝑝)
28		0zd 9666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 0 ∈ ℤ)
29		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
30	29	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℤ)
31	23	frnd 5546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ran 𝑦 ⊆ ℕ0)
32	31	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → 𝑝 ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 9777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → 𝑝 ∈ ℤ)
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℤ)
35	32	nn0ge0d 9633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → 0 ≤ 𝑝)
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 0 ≤ 𝑝)
37	34	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
38	2	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
39		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑞 ∈ 𝐼)
40	38, 39	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℕ0)
41	40	nn0red 9631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
42	30	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
43		simp-4r 548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
44	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑦 Fn 𝐼)
45	2	ffnd 5537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 Fn 𝐼)
46	45	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝐹 Fn 𝐼)
47	6	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝐼 ∈ Fin)
48		inidm 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
49		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑞) = 𝑝)
50		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑞))
51	44, 46, 47, 47, 48, 49, 50	ofrval 6317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≤ (𝐹‘𝑞))
52	43, 39, 51	mpd3an23 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ≤ (𝐹‘𝑞))
53		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑞))
54	53	breq1d 4141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑞) ≤ 𝑥))
55		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)
56	55	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)
57	54, 56, 39	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ≤ 𝑥)
58	37, 41, 42, 52, 57	letrd 8458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ≤ 𝑥)
59	28, 30, 34, 36, 58	elfzd 10436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ (0...𝑥))
60	27, 59	rexlimddv 2673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → 𝑝 ∈ (0...𝑥))
61	60	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑝 ∈ ran 𝑦 → 𝑝 ∈ (0...𝑥)))
62	61	ssrdv 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ran 𝑦 ⊆ (0...𝑥))
63		df-f 5384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦:𝐼⟶(0...𝑥) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑦 ⊆ (0...𝑥)))
64	24, 62, 63	sylanbrc 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥))
65		0zd 9666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℤ)
66	65, 29	fzfigd 10889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → (0...𝑥) ∈ Fin)
67	66	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (0...𝑥) ∈ Fin)
68		simp-4r 548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
69	67, 68	elmapd 6941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥)))
70	64, 69	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼))
71	21, 70	impbida 604	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)))
72	71	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → (𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))))
73	72	pm5.32rd 455	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → ((𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ↔ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹)))
74	73	rabbidva2 2805	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → {𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
75	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → 𝐼 ∈ Fin)
76		mapfi 7267	. . . . . 6 ⊢ (((0...𝑥) ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∈ Fin)
77	66, 75, 76	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∈ Fin)
78	12	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥))
79	78	ffnd 5537	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦 Fn 𝐼)
80	45	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝐹 Fn 𝐼)
81	14	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → (0...𝑥) ⊆ ℕ0)
82	78, 81	fssd 5550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
83	82	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑟) ∈ ℕ0)
84	83	nn0zd 9777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑟) ∈ ℤ)
85	1	ad4antr 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
86		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ 𝐼)
87	85, 86	ffvelcdmd 5847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℕ0)
88	87	nn0zd 9777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℤ)
89		zdcle 9731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦‘𝑟) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ ℤ) → DECID (𝑦‘𝑟) ≤ (𝐹‘𝑟))
90	84, 88, 89	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → DECID (𝑦‘𝑟) ≤ (𝐹‘𝑟))
91	90	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑟 ∈ 𝐼 DECID (𝑦‘𝑟) ≤ (𝐹‘𝑟))
92	6	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
93	79, 80, 91, 92	ofrfidc 7324	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → DECID 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
94	93	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)DECID 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
95	77, 94	ssfirab 7250	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → {𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
96	74, 95	eqeltrrd 2316	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
97	11, 96	sylan2b 287	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)) → {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
98	7, 97	rexlimddv 2673	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131  ran crn 4777   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028  0cc0 8186   ≤ cle 8368  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9654  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-fin 7031  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by:  psrbagfsuppd  15193  mplsubrglemcl  15249