Theorem psrbaglefifi 15114

Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbaglefifi	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑦,𝐷   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglefifi

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ 𝐷)
2		psrbag.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagfi 15110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
5	1, 4	eleqtrd 2317	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
6		nn0ex 9574	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ℕ0 ∈ V)
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
9	7, 8	elmapd 6936	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝐹:𝐼⟶ℕ0))
10	5, 9	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
11		nn0ssz 9667	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
12	11	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ℕ0 ⊆ ℤ)
13	10, 12	fssd 5547	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹:𝐼⟶ℤ)
14	13, 8	fiidxsupcl 12011	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)
15		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
16	15	breq1d 4140	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥))
17	16	cbvralv 2786	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)
18	17	anbi2i 461	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥))
19		0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 0 ∈ ℤ)
20		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝑥 ∈ ℤ)
21	19, 20	fzfigd 10882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (0...𝑥) ∈ Fin)
22	8	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐼 ∈ Fin)
23	21, 22	elmapd 6936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥)))
24	23	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥))
25		fz0ssnn0 10534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...𝑥) ⊆ ℕ0
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → (0...𝑥) ⊆ ℕ0)
27	24, 26	fssd 5547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
28	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → ℕ0 ∈ V)
29		simp-4r 548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
30	28, 29	elmapd 6936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
31	27, 30	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
32	29, 3	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
33	31, 32	eleqtrrd 2318	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
34		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
35	4	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐷 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
36	34, 35	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
37	6	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ℕ0 ∈ V)
38		simp-4r 548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
39	37, 38	elmapd 6936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
40	36, 39	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
41	40	ffnd 5534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 Fn 𝐼)
42		fvelrnb 5750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 Fn 𝐼 → (𝑝 ∈ ran 𝑦 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑞) = 𝑝))
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑝 ∈ ran 𝑦 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑞) = 𝑝))
44	43	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → ∃𝑞 ∈ 𝐼 (𝑦‘𝑞) = 𝑝)
45		0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 0 ∈ ℤ)
46		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
47	46	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℤ)
48	40	frnd 5543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ran 𝑦 ⊆ ℕ0)
49	48	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → 𝑝 ∈ ℕ0)
50	49	nn0zd 9771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → 𝑝 ∈ ℤ)
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℤ)
52	49	nn0ge0d 9628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → 0 ≤ 𝑝)
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 0 ≤ 𝑝)
54	51	zred 9773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
55	10	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
56		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑞 ∈ 𝐼)
57	55, 56	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℕ0)
58	57	nn0red 9626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
59	47	zred 9773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
60		simp-4r 548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
61	41	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑦 Fn 𝐼)
62	10	ffnd 5534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 Fn 𝐼)
63	62	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝐹 Fn 𝐼)
64	38	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝐼 ∈ Fin)
65		inidm 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
66		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑞) = 𝑝)
67		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑞))
68	61, 63, 64, 64, 65, 66, 67	ofrval 6313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ∧ 𝑞 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≤ (𝐹‘𝑞))
69	60, 56, 68	mpd3an23 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ≤ (𝐹‘𝑞))
70		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑞))
71	70	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑞) ≤ 𝑥))
72		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)
73	72	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)
74	71, 73, 56	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → (𝐹‘𝑞) ≤ 𝑥)
75	54, 58, 59, 69, 74	letrd 8452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ≤ 𝑥)
76	45, 47, 51, 53, 75	elfzd 10430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) ∧ (𝑞 ∈ 𝐼 ∧ (𝑦‘𝑞) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ (0...𝑥))
77	44, 76	rexlimddv 2673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑦) → 𝑝 ∈ (0...𝑥))
78	77	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑝 ∈ ran 𝑦 → 𝑝 ∈ (0...𝑥)))
79	78	ssrdv 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ran 𝑦 ⊆ (0...𝑥))
80		df-f 5381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦:𝐼⟶(0...𝑥) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑦 ⊆ (0...𝑥)))
81	41, 79, 80	sylanbrc 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥))
82		0zd 9661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℤ)
83	82, 46	fzfigd 10882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → (0...𝑥) ∈ Fin)
84	83	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (0...𝑥) ∈ Fin)
85	84, 38	elmapd 6936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥)))
86	81, 85	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼))
87	33, 86	impbida 604	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦 ∈ 𝐷))
88	87	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → (𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹 → (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦 ∈ 𝐷)))
89	88	pm5.32rd 455	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → ((𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹)))
90	89	rabbidva2 2805	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → {𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹})
91	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → 𝐼 ∈ Fin)
92		mapfi 7261	. . . . . 6 ⊢ (((0...𝑥) ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∈ Fin)
93	83, 91, 92	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∈ Fin)
94		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼))
95	83	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → (0...𝑥) ∈ Fin)
96	91	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
97	95, 96	elmapd 6936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥)))
98	94, 97	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶(0...𝑥))
99	98	ffnd 5534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦 Fn 𝐼)
100	62	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝐹 Fn 𝐼)
101	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → (0...𝑥) ⊆ ℕ0)
102	98, 101	fssd 5547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
103	102	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑟) ∈ ℕ0)
104	103	nn0zd 9771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑟) ∈ ℤ)
105	10	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
106		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → 𝑟 ∈ 𝐼)
107	105, 106	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℕ0)
108	107	nn0zd 9771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℤ)
109		zdcle 9726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦‘𝑟) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ ℤ) → DECID (𝑦‘𝑟) ≤ (𝐹‘𝑟))
110	104, 108, 109	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐼) → DECID (𝑦‘𝑟) ≤ (𝐹‘𝑟))
111	110	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑟 ∈ 𝐼 DECID (𝑦‘𝑟) ≤ (𝐹‘𝑟))
112	99, 100, 111, 96	ofrfidc 7318	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)) → DECID 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
113	112	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼)DECID 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹)
114	93, 113	ssfirab 7244	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → {𝑦 ∈ ((0...𝑥) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
115	90, 114	eqeltrrd 2316	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑧) ≤ 𝑥)) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
116	18, 115	sylan2b 287	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑥)) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)
117	14, 116	rexlimddv 2673	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝐹} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ^◡ccnv 4773  ran crn 4775   “ cima 4777   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∘_𝑟 cofr 6301   ↑_𝑚 cmap 6922  Fincfn 7022  0cc0 8180   ≤ cle 8362  ℕcn 9307  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-ofr 6303  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780

This theorem is used by: (None)