Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemf GIF version

Theorem resqrexlemf 10786
 Description: Lemma for resqrex 10805. The sequence is a function. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemf (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemf
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9368 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9088 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 resqrexlemex.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 resqrexlemex.agt0 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
53, 4resqrexlem1arp 10784 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
63, 4resqrexlemp1rp 10785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
71, 2, 5, 6seqf 10241 . 2 (𝜑 → seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})):ℕ⟶ℝ+)
8 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
98feq1i 5265 . 2 (𝐹:ℕ⟶ℝ+ ↔ seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})):ℕ⟶ℝ+)
107, 9sylibr 133 1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3527   class class class wbr 3929   × cxp 4537  ⟶wf 5119  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   ≤ cle 7808   / cdiv 8439  ℕcn 8727  2c2 8778  ℝ+crp 9448  seqcseq 10225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-seqfrec 10226 This theorem is referenced by:  resqrexlemfp1  10788  resqrexlemover  10789  resqrexlemdec  10790  resqrexlemdecn  10791  resqrexlemlo  10792  resqrexlemcalc1  10793  resqrexlemcalc2  10794  resqrexlemcalc3  10795  resqrexlemnmsq  10796  resqrexlemnm  10797  resqrexlemcvg  10798  resqrexlemgt0  10799  resqrexlemoverl  10800  resqrexlemglsq  10801  resqrexlemga  10802  resqrexlemsqa  10803
 Copyright terms: Public domain W3C validator