Theorem resqrexlemf 11388

Description: Lemma for resqrex 11407. The sequence is a function. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemf	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemf

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9699	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9414	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		resqrexlemex.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		resqrexlemex.agt0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5	3, 4	resqrexlem1arp 11386	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
6	3, 4	resqrexlemp1rp 11387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
7	1, 2, 5, 6	seqf 10626	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})):ℕ⟶ℝ+)
8		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
9	8	feq1i 5427	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ+ ↔ seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})):ℕ⟶ℝ+)
10	7, 9	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3637   class class class wbr 4050   × cxp 4680  ⟶wf 5275  (class class class)co 5956   ∈ cmpo 5958  ℝcr 7939  0cc0 7940  1c1 7941   + caddc 7943   ≤ cle 8123   / cdiv 8760  ℕcn 9051  2c2 9102  ℝ⁺crp 9790  seqcseq 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-rp 9791  df-seqfrec 10610

This theorem is referenced by:  resqrexlemfp1  11390  resqrexlemover  11391  resqrexlemdec  11392  resqrexlemdecn  11393  resqrexlemlo  11394  resqrexlemcalc1  11395  resqrexlemcalc2  11396  resqrexlemcalc3  11397  resqrexlemnmsq  11398  resqrexlemnm  11399  resqrexlemcvg  11400  resqrexlemgt0  11401  resqrexlemoverl  11402  resqrexlemglsq  11403  resqrexlemga  11404  resqrexlemsqa  11405