Theorem resqrexlemf 10960

Description: Lemma for resqrex 10979. The sequence is a function. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemf	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemf

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9511	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9228	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		resqrexlemex.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		resqrexlemex.agt0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5	3, 4	resqrexlem1arp 10958	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
6	3, 4	resqrexlemp1rp 10959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
7	1, 2, 5, 6	seqf 10406	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})):ℕ⟶ℝ+)
8		resqrexlemex.seq	. . 3 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
9	8	feq1i 5338	. 2 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ+ ↔ seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})):ℕ⟶ℝ+)
10	7, 9	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {csn 3581   class class class wbr 3987   × cxp 4607  ⟶wf 5192  (class class class)co 5851   ∈ cmpo 5853  ℝcr 7762  0cc0 7763  1c1 7764   + caddc 7766   ≤ cle 7944   / cdiv 8578  ℕcn 8867  2c2 8918  ℝ⁺crp 9599  seqcseq 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-rp 9600  df-seqfrec 10391

This theorem is referenced by:  resqrexlemfp1  10962  resqrexlemover  10963  resqrexlemdec  10964  resqrexlemdecn  10965  resqrexlemlo  10966  resqrexlemcalc1  10967  resqrexlemcalc2  10968  resqrexlemcalc3  10969  resqrexlemnmsq  10970  resqrexlemnm  10971  resqrexlemcvg  10972  resqrexlemgt0  10973  resqrexlemoverl  10974  resqrexlemglsq  10975  resqrexlemga  10976  resqrexlemsqa  10977