Theorem resqrex 10574

Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrex	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem resqrex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → 𝑦 = 𝑎)
2		oveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝑎))
3	1, 2	oveq12d 5708	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝑎 + (𝐴 / 𝑎)))
4	3	oveq1d 5705	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2))
5		eqidd 2096	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2) = ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2))
6	4, 5	cbvmpt2v 5766	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2))
7		seqeq2 10004	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2)) → seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})) = seq1((𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})))
8	6, 7	ax-mp 7	. 2 ⊢ seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})) = seq1((𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
9		simpl 108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		simpr 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
11	8, 9, 10	resqrexlemex 10573	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∃wrex 2371  {csn 3466   class class class wbr 3867   × cxp 4465  (class class class)co 5690   ↦ cmpt2 5692  ℝcr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   ≤ cle 7620   / cdiv 8236  ℕcn 8520  2c2 8571  ℝ⁺crp 9233  seqcseq 10000  ↑cexp 10069

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-rp 9234  df-seqfrec 10001  df-exp 10070

This theorem is referenced by:  rersqreu  10576  resqrtcl  10577