Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrex GIF version

Theorem resqrex 10805
 Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrex ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem resqrex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎𝑦 = 𝑎)
2 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝑎))
31, 2oveq12d 5792 . . . . 5 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝑎 + (𝐴 / 𝑎)))
43oveq1d 5789 . . . 4 (𝑦 = 𝑎 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2))
5 eqidd 2140 . . . 4 (𝑧 = 𝑏 → ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2) = ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2))
64, 5cbvmpov 5851 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2))
7 seqeq2 10229 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2)) → seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})) = seq1((𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})))
86, 7ax-mp 5 . 2 seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)})) = seq1((𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
9 simpl 108 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 simpr 109 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
118, 9, 10resqrexlemex 10804 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417  {csn 3527   class class class wbr 3929   × cxp 4537  (class class class)co 5774   ∈ cmpo 5776  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   ≤ cle 7808   / cdiv 8439  ℕcn 8727  2c2 8778  ℝ+crp 9448  seqcseq 10225  ↑cexp 10299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-seqfrec 10226  df-exp 10300 This theorem is referenced by:  rersqreu  10807  resqrtcl  10808
 Copyright terms: Public domain W3C validator