ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrex GIF version

Theorem resqrex 10300
Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrex ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem resqrex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎𝑦 = 𝑎)
2 oveq2 5602 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑎 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝑎))
31, 2oveq12d 5612 . . . . 5 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝑎 + (𝐴 / 𝑎)))
43oveq1d 5609 . . . 4 (𝑦 = 𝑎 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2))
5 eqidd 2086 . . . 4 (𝑧 = 𝑏 → ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2) = ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2))
64, 5cbvmpt2v 5666 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2))
7 iseqeq2 9758 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2)) → seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+) = seq1((𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+))
86, 7ax-mp 7 . 2 seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+) = seq1((𝑎 ∈ ℝ+, 𝑏 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑎 + (𝐴 / 𝑎)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
9 simpl 107 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 simpr 108 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
118, 9, 10resqrexlemex 10299 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  wrex 2356  {csn 3425   class class class wbr 3814   × cxp 4402  (class class class)co 5594  cmpt2 5596  cr 7270  0cc0 7271  1c1 7272   + caddc 7274  cle 7444   / cdiv 8055  cn 8334  2c2 8384  +crp 9043  seqcseq 9754  cexp 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385  ax-caucvg 7386
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-rp 9044  df-iseq 9755  df-iexp 9806
This theorem is referenced by:  rersqreu  10302  resqrtcl  10303
  Copyright terms: Public domain W3C validator