Theorem cnfldexp 14339

Description: The exponentiation operator in the field of complex numbers (for nonnegative exponents). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵))

Proof of Theorem cnfldexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5951	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
2		oveq2 5952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑0))
3	1, 2	eqeq12d 2220	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))))
5		oveq1 5951	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
6		oveq2 5952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝑦))
7	5, 6	eqeq12d 2220	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦)))
8	7	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦))))
9		oveq1 5951	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
10		oveq2 5952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
11	9, 10	eqeq12d 2220	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
13		oveq1 5951	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
14		oveq2 5952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴↑𝑥) = (𝐴↑𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2220	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥) ↔ (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵)))
16	15	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵))))
17		cnfldex 14321	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
18		eqid 2205	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
19		cnfldbas 14322	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
20	18, 19	mgpbasg 13688	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld)))
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
22		cnfld1 14334	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
23	18, 22	ringidvalg 13723	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld)))
24	17, 23	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
25		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
26	21, 24, 25	mulg0 13461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = 1)
27		exp0 10688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
28	26, 27	eqtr4d 2241	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))
29		oveq1 5951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑦) · 𝐴))
30		cnring 14332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
31	18	ringmgp 13764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
33		cnfldmul 14326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
34	18, 33	mgpplusgg 13686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ V → · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld)))
35	17, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
36	21, 25, 35	mulgnn0p1 13469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
37	32, 36	mp3an1 1337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
38	37	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
39		expp1 10691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴↑𝑦) · 𝐴))
40	38, 39	eqeq12d 2220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)) ↔ ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑦) · 𝐴)))
41	29, 40	imbitrrid 156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
42	41	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
43	42	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝑦)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
44	4, 8, 12, 16, 28, 43	nn0ind 9487	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵)))
45	44	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  ℂcc 7923  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928   · cmul 7930  ℕ₀cn0 9295  ↑cexp 10683  Basecbs 12832  +_gcplusg 12909  0_gc0g 13088  Mndcmnd 13248  ._gcmg 13455  mulGrpcmgp 13682  Ringcrg 13758  ℂ_fldccnfld 14318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-addf 8047  ax-mulf 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-uz 9649  df-rp 9776  df-fz 10131  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-abs 11310  df-struct 12834  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-starv 12924  df-tset 12928  df-ple 12929  df-ds 12931  df-unif 12932  df-0g 13090  df-topgen 13092  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-mulg 13456  df-cmn 13622  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760  df-cring 13761  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-fg 14311  df-metu 14312  df-cnfld 14319

This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  15550