Theorem ringsrg 13603

Description: Any ring is also a semiring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ringsrg	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)

Proof of Theorem ringsrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcmn 13589	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 13558	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	4, 2, 5, 6	isring 13556	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
8	7	simp3bi 1016	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))))
9		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10	4, 6, 9	ringlz 13599	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
11	4, 6, 9	ringrz 13600	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
12	10, 11	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
13	12	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
14		r19.26 2623	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))) ↔ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
15	8, 13, 14	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
16	4, 2, 5, 6, 9	issrg 13521	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing ↔ (𝑅 ∈ CMnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧))) ∧ (((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))))
17	1, 3, 15, 16	syl3anbrc 1183	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  0_gc0g 12927  Mndcmnd 13057  Grpcgrp 13132  CMndccmn 13414  mulGrpcmgp 13476  SRingcsrg 13519  Ringcrg 13552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554

This theorem is referenced by:  qusring2  13622  dvdsrcl2  13655  dvdsrid  13656  dvdsrtr  13657  dvdsrmul1  13658  dvdsrneg  13659  dvdsr01  13660  dvdsr02  13661  1unit  13663  opprunitd  13666  crngunit  13667  unitmulcl  13669  unitmulclb  13670  unitgrp  13672  unitabl  13673  unitgrpid  13674  unitsubm  13675  unitinvcl  13679  unitinvinv  13680  ringinvcl  13681  unitlinv  13682  unitrinv  13683  unitnegcl  13686  dvrvald  13690  unitdvcl  13692  dvrid  13693  dvrcan1  13696  dvrcan3  13697  dvreq1  13698  dvrdir  13699  rdivmuldivd  13700  unitpropdg  13704  invrpropdg  13705  rhmdvdsr  13731  elrhmunit  13733  rhmunitinv  13734  subrgdvds  13791  subrguss  13792  subrginv  13793  subrgunit  13795  subrgugrp  13796  subrgintm  13799  unitrrg  13823  rspsn  14090  cnfldui  14145  dvdsrzring  14159  znunit  14215