Theorem ringcl 13997

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 13986	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ringcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 13910	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
8	7	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
9	4, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	6	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
12	11	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
13	10, 12	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
14		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
16	14, 15	mndcl 13477	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		ringcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	1, 18	mgpplusgg 13908	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	19	oveqd 6027	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	20, 6	eleq12d 2300	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
22	21	3ad2ant1 1042	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
23	17, 22	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  ._rcmulr 13132  Mndcmnd 13470  mulGrpcmgp 13904  Ringcrg 13980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-mgp 13905  df-ring 13982

This theorem is referenced by:  ringlz  14027  ringrz  14028  ringnegl  14035  ringnegr  14036  ringmneg1  14037  ringmneg2  14038  ringm2neg  14039  ringsubdi  14040  ringsubdir  14041  mulgass2  14042  ringlghm  14045  ringrghm  14046  ringressid  14047  imasring  14048  qusring2  14050  opprring  14063  dvdsrcl2  14084  dvdsrtr  14086  dvdsrmul1  14087  dvrvald  14119  dvrcl  14120  dvrass  14124  rdivmuldivd  14129  subrgmcl  14218  lmodmcl  14285  lmodprop2d  14333  rmodislmodlem  14335  sralmod  14435  qusrhm  14513  qusmul2  14514