Theorem ringcl 14368

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 14357	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ringcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 14275	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
8	7	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
9	4, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	6	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
12	11	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
13	10, 12	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
14		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
16	14, 15	mndcl 13787	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		ringcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	1, 18	mgpplusgg 14272	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	19	oveqd 6102	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	20, 6	eleq12d 2309	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
22	21	3ad2ant1 1049	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
23	17, 22	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13403  +_gcplusg 13482  ._rcmulr 13483  Mndcmnd 13780  mulGrpcmgp 14268  Ringcrg 14351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-sets 13410  df-plusg 13495  df-mulr 13496  df-mgm 13727  df-sgrp 13768  df-mnd 13781  df-mgp 14269  df-ring 14353

This theorem is used by:  ringcld  14373  ringlz  14399  ringrz  14400  ringnegl  14407  ringnegr  14408  ringmneg1  14409  ringmneg2  14410  ringm2neg  14411  ringsubdi  14412  ringsubdir  14413  mulgass2  14414  ringlghm  14417  ringrghm  14418  ringressid  14419  imasring  14420  qusring2  14422  opprring  14435  dvdsrcl2  14457  dvdsrtr  14459  dvdsrmul1  14460  dvrvald  14492  dvrcl  14493  dvrass  14497  rdivmuldivd  14502  subrgmcl  14592  rrgsupp  14625  lmodmcl  14687  lmodprop2d  14736  rmodislmodlem  14738  sralmod  14838  qusrhm  14916  qusmul2  14917  ascldimul  15082