Theorem ringcl 14019

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 14008	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ringcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 13932	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
8	7	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
9	4, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	6	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
12	11	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
13	10, 12	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
14		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
16	14, 15	mndcl 13499	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		ringcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	1, 18	mgpplusgg 13930	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	19	oveqd 6030	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	20, 6	eleq12d 2300	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
22	21	3ad2ant1 1042	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
23	17, 22	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153  ._rcmulr 13154  Mndcmnd 13492  mulGrpcmgp 13926  Ringcrg 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-mgp 13927  df-ring 14004

This theorem is referenced by:  ringlz  14049  ringrz  14050  ringnegl  14057  ringnegr  14058  ringmneg1  14059  ringmneg2  14060  ringm2neg  14061  ringsubdi  14062  ringsubdir  14063  mulgass2  14064  ringlghm  14067  ringrghm  14068  ringressid  14069  imasring  14070  qusring2  14072  opprring  14085  dvdsrcl2  14106  dvdsrtr  14108  dvdsrmul1  14109  dvrvald  14141  dvrcl  14142  dvrass  14146  rdivmuldivd  14151  subrgmcl  14240  lmodmcl  14307  lmodprop2d  14355  rmodislmodlem  14357  sralmod  14457  qusrhm  14535  qusmul2  14536