Theorem ringcl 14241

Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 14230	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ringcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 14154	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	eleq2d 2304	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
8	7	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
9	4, 8	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	6	eleq2d 2304	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
12	11	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
13	10, 12	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
14		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
16	14, 15	mndcl 13720	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17	3, 9, 13, 16	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		ringcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	1, 18	mgpplusgg 14152	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	19	oveqd 6075	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	20, 6	eleq12d 2305	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
22	21	3ad2ant1 1045	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ↔ (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
23	17, 22	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  ._rcmulr 13375  Mndcmnd 13713  mulGrpcmgp 14148  Ringcrg 14224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-mgp 14149  df-ring 14226

This theorem is referenced by:  ringlz  14271  ringrz  14272  ringnegl  14279  ringnegr  14280  ringmneg1  14281  ringmneg2  14282  ringm2neg  14283  ringsubdi  14284  ringsubdir  14285  mulgass2  14286  ringlghm  14289  ringrghm  14290  ringressid  14291  imasring  14292  qusring2  14294  opprring  14307  dvdsrcl2  14329  dvdsrtr  14331  dvdsrmul1  14332  dvrvald  14364  dvrcl  14365  dvrass  14369  rdivmuldivd  14374  subrgmcl  14464  rrgsupp  14497  lmodmcl  14560  lmodprop2d  14608  rmodislmodlem  14610  sralmod  14710  qusrhm  14788  qusmul2  14789