Theorem sraex 14766

Description: Existence of a subring algebra. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sraex	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sraex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
3		srapart.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sraval 14757	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6		scaslid 13490	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
9		basfn 13394	. . . . . . . . 9 ⊢ Base Fn V
10	2	elexd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
11		funfvex 5710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	11	funfni 5481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
13	9, 10, 12	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
14	13, 3	ssexd 4271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
15		ressex 13402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
16	2, 14, 15	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
17		setsex 13367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
18	2, 8, 16, 17	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
19		vscaslid 13500	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
20	19	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
22		mulrslid 13469	. . . . . . 7 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
23	22	slotex 13362	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (.r‘𝑊) ∈ V)
24	2, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) ∈ V)
25		setsex 13367	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
26	18, 21, 24, 25	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
27		ipslid 13508	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx) ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
28	27	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
30		setsex 13367	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
31	26, 29, 24, 30	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
32	5, 31	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) ∈ V)
33	1, 32	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3711   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℕcn 9287  ndxcnx 13332   sSet csts 13333  Slot cslot 13334  Basecbs 13335   ↾_s cress 13336  ._rcmulr 13415  Scalarcsca 13417   ·_𝑠 cvsca 13418  ·_𝑖cip 13419  subringAlg csra 14753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-sra 14755

This theorem is referenced by:  sratopng  14767  sralmod0g  14771  rlmfn  14773  rlmvalg  14774