Theorem sraex 14586

Description: Existence of a subring algebra. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sraex	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sraex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
3		srapart.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sraval 14577	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6		scaslid 13358	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
9		basfn 13263	. . . . . . . . 9 ⊢ Base Fn V
10	2	elexd 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
11		funfvex 5686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	11	funfni 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
14	13, 3	ssexd 4249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
15		ressex 13270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
16	2, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
17		setsex 13236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
18	2, 8, 16, 17	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
19		vscaslid 13368	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
20	19	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
22		mulrslid 13337	. . . . . . 7 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
23	22	slotex 13231	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (.r‘𝑊) ∈ V)
24	2, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) ∈ V)
25		setsex 13236	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
26	18, 21, 24, 25	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
27		ipslid 13376	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx) ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
28	27	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
30		setsex 13236	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
31	26, 29, 24, 30	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
32	5, 31	eqeltrd 2309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) ∈ V)
33	1, 32	eqeltrd 2309	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ⊆ wss 3210  ⟨cop 3691   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℕcn 9236  ndxcnx 13201   sSet csts 13202  Slot cslot 13203  Basecbs 13204   ↾_s cress 13205  ._rcmulr 13283  Scalarcsca 13285   ·_𝑠 cvsca 13286  ·_𝑖cip 13287  subringAlg csra 14573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-sra 14575

This theorem is referenced by:  sratopng  14587  sralmod0g  14591  rlmfn  14593  rlmvalg  14594