Theorem sraex 13942

Description: Existence of a subring algebra. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sraex	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sraex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
3		srapart.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sraval 13933	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6		scaslid 12770	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
9		basfn 12676	. . . . . . . . 9 ⊢ Base Fn V
10	2	elexd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
11		funfvex 5571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	11	funfni 5354	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
14	13, 3	ssexd 4169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
15		ressex 12683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
16	2, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
17		setsex 12650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
18	2, 8, 16, 17	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
19		vscaslid 12780	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
20	19	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
22		mulrslid 12749	. . . . . . 7 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
23	22	slotex 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (.r‘𝑊) ∈ V)
24	2, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) ∈ V)
25		setsex 12650	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
26	18, 21, 24, 25	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
27		ipslid 12788	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx) ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
28	27	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
30		setsex 12650	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
31	26, 29, 24, 30	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
32	5, 31	eqeltrd 2270	. 2 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) ∈ V)
33	1, 32	eqeltrd 2270	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153  ⟨cop 3621   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℕcn 8982  ndxcnx 12615   sSet csts 12616  Slot cslot 12617  Basecbs 12618   ↾_s cress 12619  ._rcmulr 12696  Scalarcsca 12698   ·_𝑠 cvsca 12699  ·_𝑖cip 12700  subringAlg csra 13929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-sra 13931

This theorem is referenced by:  sratopng  13943  sralmod0g  13947  rlmfn  13949  rlmvalg  13950