Theorem sraex 13787

Description: Existence of a subring algebra. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sraex	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sraex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
3		srapart.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sraval 13778	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6		scaslid 12675	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
9		basfn 12581	. . . . . . . . 9 ⊢ Base Fn V
10	2	elexd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
11		funfvex 5554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	11	funfni 5338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
14	13, 3	ssexd 4161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
15		ressex 12588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
16	2, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
17		setsex 12555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
18	2, 8, 16, 17	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V)
19		vscaslid 12685	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
20	19	simpri 113	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
22		mulrslid 12654	. . . . . . 7 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
23	22	slotex 12550	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (.r‘𝑊) ∈ V)
24	2, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) ∈ V)
25		setsex 12555	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) ∈ V ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
26	18, 21, 24, 25	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
27		ipslid 12693	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx) ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
28	27	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ)
30		setsex 12555	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V ∧ (·𝑖‘ndx) ∈ ℕ ∧ (.r‘𝑊) ∈ V) → (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
31	26, 29, 24, 30	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) ∈ V)
32	5, 31	eqeltrd 2266	. 2 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) ∈ V)
33	1, 32	eqeltrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  ⟨cop 3613   Fn wfn 5233  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  ℕcn 8954  ndxcnx 12520   sSet csts 12521  Slot cslot 12522  Basecbs 12523   ↾_s cress 12524  ._rcmulr 12601  Scalarcsca 12603   ·_𝑠 cvsca 12604  ·_𝑖cip 12605  subringAlg csra 13774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-mulr 12614  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-ip 12618  df-sra 13776

This theorem is referenced by:  sratopng  13788  sralmod0g  13792  rlmfn  13794  rlmvalg  13795