Theorem xlt0neg2 9744

Description: Extended real version of lt0neg2 8345. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xlt0neg2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < 0))

Proof of Theorem xlt0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 7925	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		xltneg 9741	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒0))
3	1, 2	mpan 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < -𝑒0))
4		xneg0 9736	. . 3 ⊢ -𝑒0 = 0
5	4	breq2i 3974	. 2 ⊢ (-𝑒𝐴 < -𝑒0 ↔ -𝑒𝐴 < 0)
6	3, 5	bitrdi 195	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 < 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3966  0cc0 7733  ℝ^*cxr 7912   < clt 7913  -_𝑒cxne 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltadd 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-sub 8049  df-neg 8050  df-xneg 9680

This theorem is referenced by: (None)