Theorem 0cnv 45762

Description: If ∅ is a complex number, then it converges to itself. See 0ncn 11174 and its comment; see also the comment in climlimsupcex 45789. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0cnv	⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Proof of Theorem 0cnv

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ∈ ℂ)
2		0zd 12627	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ ℂ)
4		subid 11529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ − ∅) = 0)
5	4	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = (abs‘0))
6		abs0 15325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘0) = 0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘0) = 0)
8	5, 7	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
10		rpgt0 13048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
12	9, 11	eqbrtrd 5164	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)
13	3, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
14	13	ralrimivw 3149	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
15		fveq2 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘0))
16	15	raleqdv 3325	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
17	16	rspcev 3621	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
18	2, 14, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
19	18	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
20	1, 19	jca 511	. 2 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
21		0ex 5306	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
23		0fv 6949	. . . . 5 ⊢ (∅‘𝑘) = ∅
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∅‘𝑘) = ∅)
25	22, 24	clim 15531	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))))
26	25	mptru 1546	. 2 ⊢ (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
27	20, 26	sylibr 234	1 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3479  ∅c0 4332   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156   < clt 11296   − cmin 11493  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ℝ⁺crp 13035  abscabs 15274   ⇝ cli 15521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525

This theorem is referenced by:  climlimsupcex  45789