Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0cnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnv 45124
Description: If is a complex number, then it converges to itself. See 0ncn 11150 and its comment; see also the comment in climlimsupcex 45151. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
0cnv (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Proof of Theorem 0cnv
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (∅ ∈ ℂ → ∅ ∈ ℂ)
2 0zd 12594 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ ℂ)
4 subid 11503 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ ℂ → (∅ − ∅) = 0)
54fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = (abs‘0))
6 abs0 15258 . . . . . . . . . . 11 (abs‘0) = 0
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ℂ → (abs‘0) = 0)
85, 7eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
10 rpgt0 13012 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
129, 11eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)
133, 12jca 511 . . . . . 6 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
1413ralrimivw 3146 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
15 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (ℤ𝑚) = (ℤ‘0))
1615raleqdv 3321 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
1716rspcev 3608 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
182, 14, 17syl2anc 583 . . . 4 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
1918ralrimiva 3142 . . 3 (∅ ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
201, 19jca 511 . 2 (∅ ∈ ℂ → (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
21 0ex 5301 . . . . 5 ∅ ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
23 0fv 6935 . . . . 5 (∅‘𝑘) = ∅
2423a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∅‘𝑘) = ∅)
2522, 24clim 15464 . . 3 (⊤ → (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))))
2625mptru 1541 . 2 (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
2720, 26sylibr 233 1 (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  Vcvv 3470  c0 4318   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11130  0cc0 11132   < clt 11272  cmin 11468  cz 12582  cuz 12846  +crp 13000  abscabs 15207  cli 15454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458
This theorem is referenced by:  climlimsupcex  45151
  Copyright terms: Public domain W3C validator