Theorem 0cnv 46197

Description: If ∅ is a complex number, then it converges to itself. See 0ncn 11052 and its comment; see also the comment in climlimsupcex 46224. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0cnv	⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Proof of Theorem 0cnv

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ∈ ℂ)
2		0zd 12531	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ ℂ)
4		subid 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ − ∅) = 0)
5	4	fveq2d 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = (abs‘0))
6		abs0 15242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘0) = 0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘0) = 0)
8	5, 7	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
9	8	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
10		rpgt0 12950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
11	10	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
12	9, 11	eqbrtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)
13	3, 12	jca 517	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
14	13	ralrimivw 3137	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
15		fveq2 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘0))
16	15	raleqdv 3299	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
17	16	rspcev 3561	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
18	2, 14, 17	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
19	18	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
20	1, 19	jca 517	. 2 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
21		0ex 5231	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
23		0fv 6871	. . . . 5 ⊢ (∅‘𝑘) = ∅
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∅‘𝑘) = ∅)
25	22, 24	clim 15451	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))))
26	25	mptru 1555	. 2 ⊢ (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
27	20, 26	sylibr 236	1 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  Vcvv 3433  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  0cc0 11034   < clt 11175   − cmin 11373  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ℝ⁺crp 12937  abscabs 15191   ⇝ cli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445

This theorem is referenced by:  climlimsupcex  46224