Theorem 0cnv 43332

Description: If ∅ is a complex number, then it converges to itself. See 0ncn 10935 and its comment; see also the comment in climlimsupcex 43359. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0cnv	⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Proof of Theorem 0cnv

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ∈ ℂ)
2		0zd 12377	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ ℂ)
4		subid 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ − ∅) = 0)
5	4	fveq2d 6808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = (abs‘0))
6		abs0 15042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘0) = 0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘0) = 0)
8	5, 7	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
9	8	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
10		rpgt0 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
11	10	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
12	9, 11	eqbrtrd 5103	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)
13	3, 12	jca 513	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
14	13	ralrimivw 3144	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
15		fveq2 6804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘0))
16	15	raleqdv 3360	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
17	16	rspcev 3566	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
18	2, 14, 17	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
19	18	ralrimiva 3140	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
20	1, 19	jca 513	. 2 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
21		0ex 5240	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
23		0fv 6845	. . . . 5 ⊢ (∅‘𝑘) = ∅
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∅‘𝑘) = ∅)
25	22, 24	clim 15248	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))))
26	25	mptru 1546	. 2 ⊢ (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
27	20, 26	sylibr 233	1 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3437  ∅c0 4262   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10915  0cc0 10917   < clt 11055   − cmin 11251  ℤcz 12365  ℤ_≥cuz 12628  ℝ⁺crp 12776  abscabs 14990   ⇝ cli 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242

This theorem is referenced by:  climlimsupcex  43359