Theorem 0cnv 46752

Description: If ∅ is a complex number, then it converges to itself. See 0ncn 11218 and its comment; see also the comment in climlimsupcex 46779. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0cnv	⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Proof of Theorem 0cnv

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ∈ ℂ)
2		0zd 12705	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ ℂ)
4		subid 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ − ∅) = 0)
5	4	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = (abs‘0))
6		abs0 15452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘0) = 0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘0) = 0)
8	5, 7	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
10		rpgt0 13133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
11	10	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
12	9, 11	eqbrtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)
13	3, 12	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
14	13	ralrimivw 3158	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
15		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘0))
16	15	raleqdv 3319	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
17	16	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
18	2, 14, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
19	18	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
20	1, 19	jca 521	. 2 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
21		0ex 5260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
23		0fv 6926	. . . . 5 ⊢ (∅‘𝑘) = ∅
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∅‘𝑘) = ∅)
25	22, 24	clim 15661	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))))
26	25	mptru 1576	. 2 ⊢ (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
27	20, 26	sylibr 237	1 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   < clt 11343   − cmin 11541  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655

This theorem is used by:  climlimsupcex  46779