Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0cnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnv 44968
Description: If is a complex number, then it converges to itself. See 0ncn 11125 and its comment; see also the comment in climlimsupcex 44995. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
0cnv (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Proof of Theorem 0cnv
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (∅ ∈ ℂ → ∅ ∈ ℂ)
2 0zd 12568 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ ℂ)
4 subid 11477 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ ℂ → (∅ − ∅) = 0)
54fveq2d 6886 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = (abs‘0))
6 abs0 15230 . . . . . . . . . . 11 (abs‘0) = 0
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ℂ → (abs‘0) = 0)
85, 7eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
10 rpgt0 12984 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
129, 11eqbrtrd 5161 . . . . . . 7 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)
133, 12jca 511 . . . . . 6 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
1413ralrimivw 3142 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
15 fveq2 6882 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (ℤ𝑚) = (ℤ‘0))
1615raleqdv 3317 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
1716rspcev 3604 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
182, 14, 17syl2anc 583 . . . 4 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
1918ralrimiva 3138 . . 3 (∅ ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
201, 19jca 511 . 2 (∅ ∈ ℂ → (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
21 0ex 5298 . . . . 5 ∅ ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
23 0fv 6926 . . . . 5 (∅‘𝑘) = ∅
2423a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∅‘𝑘) = ∅)
2522, 24clim 15436 . . 3 (⊤ → (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))))
2625mptru 1540 . 2 (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
2720, 26sylibr 233 1 (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  Vcvv 3466  c0 4315   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  cc 11105  0cc0 11107   < clt 11246  cmin 11442  cz 12556  cuz 12820  +crp 12972  abscabs 15179  cli 15426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430
This theorem is referenced by:  climlimsupcex  44995
  Copyright terms: Public domain W3C validator