Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0cnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnv 45132
Description: If is a complex number, then it converges to itself. See 0ncn 11162 and its comment; see also the comment in climlimsupcex 45159. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
0cnv (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Proof of Theorem 0cnv
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (∅ ∈ ℂ → ∅ ∈ ℂ)
2 0zd 12606 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3 simpl 481 . . . . . . 7 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ ℂ)
4 subid 11515 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ ℂ → (∅ − ∅) = 0)
54fveq2d 6904 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = (abs‘0))
6 abs0 15270 . . . . . . . . . . 11 (abs‘0) = 0
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ℂ → (abs‘0) = 0)
85, 7eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
98adantr 479 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
10 rpgt0 13024 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
1110adantl 480 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
129, 11eqbrtrd 5172 . . . . . . 7 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)
133, 12jca 510 . . . . . 6 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
1413ralrimivw 3146 . . . . 5 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
15 fveq2 6900 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (ℤ𝑚) = (ℤ‘0))
1615raleqdv 3321 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
1716rspcev 3609 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
182, 14, 17syl2anc 582 . . . 4 ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
1918ralrimiva 3142 . . 3 (∅ ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
201, 19jca 510 . 2 (∅ ∈ ℂ → (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
21 0ex 5309 . . . . 5 ∅ ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ∈ V)
23 0fv 6944 . . . . 5 (∅‘𝑘) = ∅
2423a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∅‘𝑘) = ∅)
2522, 24clim 15476 . . 3 (⊤ → (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))))
2625mptru 1540 . 2 (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
2720, 26sylibr 233 1 (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wral 3057  wrex 3066  Vcvv 3471  c0 4324   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  cc 11142  0cc0 11144   < clt 11284  cmin 11480  cz 12594  cuz 12858  +crp 13012  abscabs 15219  cli 15466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470
This theorem is referenced by:  climlimsupcex  45159
  Copyright terms: Public domain W3C validator