Theorem 0cnv 46321

Description: If ∅ is a complex number, then it converges to itself. See 0ncn 11093 and its comment; see also the comment in climlimsupcex 46348. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
0cnv	⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Proof of Theorem 0cnv

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ∈ ℂ)
2		0zd 12582	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℤ)
3		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ ℂ)
4		subid 11452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ − ∅) = 0)
5	4	fveq2d 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = (abs‘0))
6		abs0 15314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘0) = 0
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘0) = 0)
8	5, 7	eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
9	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) = 0)
10		rpgt0 13008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
11	10	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑥)
12	9, 11	eqbrtrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)
13	3, 12	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
14	13	ralrimivw 3160	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
15		fveq2 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘0))
16	15	raleqdv 3322	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
17	16	rspcev 3583	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
18	2, 14, 17	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
19	18	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))
20	1, 19	jca 519	. 2 ⊢ (∅ ∈ ℂ → (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
21		0ex 5259	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
23		0fv 6910	. . . . 5 ⊢ (∅‘𝑘) = ∅
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∅‘𝑘) = ∅)
25	22, 24	clim 15523	. . 3 ⊢ (⊤ → (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥))))
26	25	mptru 1569	. 2 ⊢ (∅ ⇝ ∅ ↔ (∅ ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(∅ ∈ ℂ ∧ (abs‘(∅ − ∅)) < 𝑥)))
27	20, 26	sylibr 236	1 ⊢ (∅ ∈ ℂ → ∅ ⇝ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562  ⊤wtru 1563   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3456  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075   < clt 11218   − cmin 11416  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ℝ⁺crp 12995  abscabs 15263   ⇝ cli 15513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517

This theorem is referenced by:  climlimsupcex  46348