MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat1st1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat1st1st 14663
Description: The first symbol of a word concatenated with its first symbol is the first symbol of the word. This theorem holds even if 𝑊 is the empty word. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
ccat1st1st (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem ccat1st1st
StepHypRef Expression
1 hasheq0 14399 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
21biimpa 476 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
3 s1cli 14640 . . . . . . 7 ⟨“∅”⟩ ∈ Word V
4 ccatlid 14621 . . . . . . 7 (⟨“∅”⟩ ∈ Word V → (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩
65fveq1i 6908 . . . . 5 ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = (⟨“∅”⟩‘0)
7 0ex 5313 . . . . . 6 ∅ ∈ V
8 s1fv 14645 . . . . . 6 (∅ ∈ V → (⟨“∅”⟩‘0) = ∅)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (⟨“∅”⟩‘0) = ∅
106, 9eqtri 2763 . . . 4 ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = ∅
11 id 22 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
12 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = (∅‘0))
13 0fv 6951 . . . . . . . 8 (∅‘0) = ∅
1412, 13eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = ∅)
1514s1eqd 14636 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“∅”⟩)
1611, 15oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (∅ ++ ⟨“∅”⟩))
1716fveq1d 6909 . . . 4 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0))
1810, 17, 143eqtr4a 2801 . . 3 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
192, 18syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
201necon3bid 2983 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2120biimpa 476 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊 ≠ ∅)
22 lennncl 14569 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2321, 22syldan 591 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
24 lbfzo0 13736 . . . 4 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2523, 24sylibr 234 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26 ccats1val1 14661 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
2725, 26syldan 591 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
2819, 27pm2.61dane 3027 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  cn 12264  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631
This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  30135
  Copyright terms: Public domain W3C validator