Theorem ccat1st1st 14593

Description: The first symbol of a word concatenated with its first symbol is the first symbol of the word. This theorem holds even if 𝑊 is the empty word. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccat1st1st	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem ccat1st1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 14328	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
2	1	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → 𝑊 = ∅)
3		s1cli 14570	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“∅”⟩ ∈ Word V
4		ccatlid 14551	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“∅”⟩ ∈ Word V → (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩
6	5	fveq1i 6859	. . . . 5 ⊢ ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = (⟨“∅”⟩‘0)
7		0ex 5262	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
8		s1fv 14575	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (⟨“∅”⟩‘0) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨“∅”⟩‘0) = ∅
10	6, 9	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = ∅
11		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
12		fveq1 6857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = (∅‘0))
13		0fv 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (∅‘0) = ∅
14	12, 13	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = ∅)
15	14	s1eqd 14566	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“∅”⟩)
16	11, 15	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (∅ ++ ⟨“∅”⟩))
17	16	fveq1d 6860	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0))
18	10, 17, 14	3eqtr4a 2790	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
19	2, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
20	1	necon3bid 2969	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ 𝑊 ≠ ∅))
21	20	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊 ≠ ∅)
22		lennncl 14499	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
23	21, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
24		lbfzo0 13660	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
25	23, 24	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26		ccats1val1 14591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
27	25, 26	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
28	19, 27	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  ℕcn 12186  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561

This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  30035