Theorem homffn 17774

Description: The functionalized Hom-set operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
homffn.f	⊢ 𝐹 = (Homf ‘𝐶)
homffn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
homffn	⊢ 𝐹 Fn (𝐵 × 𝐵)

Proof of Theorem homffn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homffn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Homf ‘𝐶)
2		homffn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	homffval 17771	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
5		ovex 7456	. 2 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ∈ V
6	4, 5	fnmpoi 8076	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐵 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   × cxp 5664   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  Hom chom 17346  Hom_f chomf 17747

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-homf 17751

This theorem is used by:  homfeqbas  17777  2oppchomf  17805  0ssc  17919  catsubcat  17921  subcss1  17924  issubc3  17931  fullsubc  17932  fullresc  17933  funcres2c  17985  hofcllem  18339  hofcl  18340  oppchofcl  18341  oyoncl  18351  yonffthlem  18363  srhmsubc  20816  srhmsubcALTV  49131  homf0  49828  oppcendc  49837  discsubc  49883  nelsubclem  49886  ssccatid  49891  resccatlem  49892  imaidfu  49929  imaidfu2  49930  imasubc  49970  imassc  49972  setc1onsubc  50421