Theorem homffn 17872

Description: The functionalized Hom-set operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
homffn.f	⊢ 𝐹 = (Homf ‘𝐶)
homffn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
homffn	⊢ 𝐹 Fn (𝐵 × 𝐵)

Proof of Theorem homffn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homffn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Homf ‘𝐶)
2		homffn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	homffval 17869	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
5		ovex 7453	. 2 ⊢ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦) ∈ V
6	4, 5	fnmpoi 8081	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐵 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   × cxp 5648   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  Hom chom 17444  Hom_f chomf 17845

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-homf 17849

This theorem is used by:  homfeqbas  17875  2oppchomf  17903  0ssc  18017  catsubcat  18019  subcss1  18022  issubc3  18029  fullsubc  18030  fullresc  18031  funcres2c  18083  hofcllem  18437  hofcl  18438  oppchofcl  18439  oyoncl  18449  yonffthlem  18461  srhmsubc  20937  srhmsubcALTV  49515  homf0  50216  oppcendc  50225  discsubc  50271  nelsubclem  50274  ssccatid  50279  resccatlem  50280  imaidfu  50319  imaidfu2  50320  imasubc  50360  imassc  50362  setc1onsubc  50833