MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issect2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issect2 17701
Description: Property of being a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issect.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
issect.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
issect.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
issect.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
issect.s ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
issect.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
issect.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
issect.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
issect.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
issect.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹))
Assertion
Ref Expression
issect2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem issect2
StepHypRef Expression
1 issect.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
2 issect.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹))
31, 2jca 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)))
4 issect.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
5 issect.h . . . 4 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
6 issect.o . . . 4 ยท = (compโ€˜๐ถ)
7 issect.i . . . 4 1 = (Idโ€˜๐ถ)
8 issect.s . . . 4 ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
9 issect.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
10 issect.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
11 issect.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11issect 17700 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹))))
13 df-3an 1090 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)) โ†” ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
1412, 13bitrdi 287 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹))))
153, 14mpbirand 706 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4635   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Idccid 17609  Sectcsect 17691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-sect 17694
This theorem is referenced by:  sectco  17703  dfiso3  17720  monsect  17730  sectid  17733  invcoisoid  17739  isocoinvid  17740  funcsect  17822  fthsect  17876  fucsect  17925  2initoinv  17960  2termoinv  17967  catcisolem  18060
  Copyright terms: Public domain W3C validator