Theorem issect2 17685

Description: Property of being a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
issect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
issect.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
issect.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
issect.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
issect.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
issect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
issect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
issect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
issect.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
issect.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))

Assertion

Ref	Expression
issect2	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)))

Proof of Theorem issect2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issect.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2		issect.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
3	1, 2	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)))
4		issect.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		issect.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		issect.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
7		issect.i	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
8		issect.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
9		issect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		issect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		issect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	issect 17684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋))))
13		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)))
14	12, 13	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋))))
15	3, 14	mpbirand 705	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4629   class class class wbr 5142  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128  Hom chom 17192  compcco 17193  Catccat 17592  Idccid 17593  Sectcsect 17675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-sect 17678

This theorem is referenced by:  sectco  17687  dfiso3  17704  monsect  17714  sectid  17717  invcoisoid  17723  isocoinvid  17724  funcsect  17806  fthsect  17860  fucsect  17909  2initoinv  17944  2termoinv  17951  catcisolem  18044