Theorem issect2 17789

Description: Property of being a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
issect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
issect.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
issect.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
issect.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
issect.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
issect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
issect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
issect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
issect.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
issect.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))

Assertion

Ref	Expression
issect2	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)))

Proof of Theorem issect2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issect.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2		issect.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
3	1, 2	jca 519	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)))
4		issect.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		issect.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		issect.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
7		issect.i	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
8		issect.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
9		issect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		issect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		issect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	issect 17788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋))))
13		df-3an 1101	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)))
14	12, 13	bitrdi 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋))))
15	3, 14	mpbirand 717	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  Hom chom 17299  compcco 17300  Catccat 17698  Idccid 17699  Sectcsect 17779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-sect 17782

This theorem is referenced by:  sectco  17791  dfiso3  17808  monsect  17818  sectid  17821  invcoisoid  17827  isocoinvid  17828  funcsect  17907  fthsect  17962  fucsect  18010  2initoinv  18045  2termoinv  18052  catcisolem  18145