Theorem issect2 17815

Description: Property of being a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
issect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
issect.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
issect.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
issect.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
issect.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
issect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
issect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
issect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
issect.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
issect.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))

Assertion

Ref	Expression
issect2	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)))

Proof of Theorem issect2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issect.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2		issect.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)))
4		issect.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		issect.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		issect.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
7		issect.i	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
8		issect.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
9		issect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		issect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		issect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	issect 17814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋))))
13		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)))
14	12, 13	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋))))
15	3, 14	mpbirand 706	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑋)𝐹) = ( 1 ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Hom chom 17322  compcco 17323  Catccat 17722  Idccid 17723  Sectcsect 17805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-sect 17808

This theorem is referenced by:  sectco  17817  dfiso3  17834  monsect  17844  sectid  17847  invcoisoid  17853  isocoinvid  17854  funcsect  17936  fthsect  17992  fucsect  18042  2initoinv  18077  2termoinv  18084  catcisolem  18177