![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > issect2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Property of being a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
issect.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) |
issect.h | โข ๐ป = (Hom โ๐ถ) |
issect.o | โข ยท = (compโ๐ถ) |
issect.i | โข 1 = (Idโ๐ถ) |
issect.s | โข ๐ = (Sectโ๐ถ) |
issect.c | โข (๐ โ ๐ถ โ Cat) |
issect.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
issect.y | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
issect.f | โข (๐ โ ๐น โ (๐๐ป๐)) |
issect.g | โข (๐ โ ๐บ โ (๐๐ป๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
issect2 | โข (๐ โ (๐น(๐๐๐)๐บ โ (๐บ(โจ๐, ๐โฉ ยท ๐)๐น) = ( 1 โ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | issect.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ (๐๐ป๐)) | |
2 | issect.g | . . 3 โข (๐ โ ๐บ โ (๐๐ป๐)) | |
3 | 1, 2 | jca 513 | . 2 โข (๐ โ (๐น โ (๐๐ป๐) โง ๐บ โ (๐๐ป๐))) |
4 | issect.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) | |
5 | issect.h | . . . 4 โข ๐ป = (Hom โ๐ถ) | |
6 | issect.o | . . . 4 โข ยท = (compโ๐ถ) | |
7 | issect.i | . . . 4 โข 1 = (Idโ๐ถ) | |
8 | issect.s | . . . 4 โข ๐ = (Sectโ๐ถ) | |
9 | issect.c | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ Cat) | |
10 | issect.x | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
11 | issect.y | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
12 | 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | issect 17700 | . . 3 โข (๐ โ (๐น(๐๐๐)๐บ โ (๐น โ (๐๐ป๐) โง ๐บ โ (๐๐ป๐) โง (๐บ(โจ๐, ๐โฉ ยท ๐)๐น) = ( 1 โ๐)))) |
13 | df-3an 1090 | . . 3 โข ((๐น โ (๐๐ป๐) โง ๐บ โ (๐๐ป๐) โง (๐บ(โจ๐, ๐โฉ ยท ๐)๐น) = ( 1 โ๐)) โ ((๐น โ (๐๐ป๐) โง ๐บ โ (๐๐ป๐)) โง (๐บ(โจ๐, ๐โฉ ยท ๐)๐น) = ( 1 โ๐))) | |
14 | 12, 13 | bitrdi 287 | . 2 โข (๐ โ (๐น(๐๐๐)๐บ โ ((๐น โ (๐๐ป๐) โง ๐บ โ (๐๐ป๐)) โง (๐บ(โจ๐, ๐โฉ ยท ๐)๐น) = ( 1 โ๐)))) |
15 | 3, 14 | mpbirand 706 | 1 โข (๐ โ (๐น(๐๐๐)๐บ โ (๐บ(โจ๐, ๐โฉ ยท ๐)๐น) = ( 1 โ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โจcop 4635 class class class wbr 5149 โcfv 6544 (class class class)co 7409 Basecbs 17144 Hom chom 17208 compcco 17209 Catccat 17608 Idccid 17609 Sectcsect 17691 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-sect 17694 |
This theorem is referenced by: sectco 17703 dfiso3 17720 monsect 17730 sectid 17733 invcoisoid 17739 isocoinvid 17740 funcsect 17822 fthsect 17876 fucsect 17925 2initoinv 17960 2termoinv 17967 catcisolem 18060 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |