MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issect2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issect2 16727
Description: Property of being a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
issect.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
issect.o · = (comp‘𝐶)
issect.i 1 = (Id‘𝐶)
issect.s 𝑆 = (Sect‘𝐶)
issect.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
issect.x (𝜑𝑋𝐵)
issect.y (𝜑𝑌𝐵)
issect.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
issect.g (𝜑𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
Assertion
Ref Expression
issect2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋)))

Proof of Theorem issect2
StepHypRef Expression
1 issect.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2 issect.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
31, 2jca 508 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)))
4 issect.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
5 issect.h . . . . 5 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6 issect.o . . . . 5 · = (comp‘𝐶)
7 issect.i . . . . 5 1 = (Id‘𝐶)
8 issect.s . . . . 5 𝑆 = (Sect‘𝐶)
9 issect.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
10 issect.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
11 issect.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11issect 16726 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋))))
13 df-3an 1110 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋)))
1412, 13syl6bb 279 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋))))
1514baibd 536 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))) → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋)))
163, 15mpdan 679 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cop 4375   class class class wbr 4844  cfv 6102  (class class class)co 6879  Basecbs 16183  Hom chom 16277  compcco 16278  Catccat 16638  Idccid 16639  Sectcsect 16717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-sect 16720
This theorem is referenced by:  sectco  16729  dfiso3  16746  monsect  16756  sectid  16759  invcoisoid  16765  isocoinvid  16766  cicref  16774  funcsect  16845  fthsect  16898  fucsect  16945  2initoinv  16973  2termoinv  16980  catcisolem  17069
  Copyright terms: Public domain W3C validator