Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issect2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issect2 17016
 Description: Property of being a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
issect.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
issect.o · = (comp‘𝐶)
issect.i 1 = (Id‘𝐶)
issect.s 𝑆 = (Sect‘𝐶)
issect.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
issect.x (𝜑𝑋𝐵)
issect.y (𝜑𝑌𝐵)
issect.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
issect.g (𝜑𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
Assertion
Ref Expression
issect2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋)))

Proof of Theorem issect2
StepHypRef Expression
1 issect.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2 issect.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
31, 2jca 514 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)))
4 issect.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
5 issect.h . . . 4 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6 issect.o . . . 4 · = (comp‘𝐶)
7 issect.i . . . 4 1 = (Id‘𝐶)
8 issect.s . . . 4 𝑆 = (Sect‘𝐶)
9 issect.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
10 issect.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
11 issect.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11issect 17015 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋))))
13 df-3an 1083 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋)))
1412, 13syl6bb 289 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋))))
153, 14mpbirand 705 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌· 𝑋)𝐹) = ( 1𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4565   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  Hom chom 16568  compcco 16569  Catccat 16927  Idccid 16928  Sectcsect 17006 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-sect 17009 This theorem is referenced by:  sectco  17018  dfiso3  17035  monsect  17045  sectid  17048  invcoisoid  17054  isocoinvid  17055  funcsect  17134  fthsect  17187  fucsect  17234  2initoinv  17262  2termoinv  17269  catcisolem  17358
 Copyright terms: Public domain W3C validator