MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issect2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issect2 17707
Description: Property of being a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issect.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
issect.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
issect.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
issect.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
issect.s ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
issect.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
issect.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
issect.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
issect.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
issect.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹))
Assertion
Ref Expression
issect2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem issect2
StepHypRef Expression
1 issect.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
2 issect.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹))
31, 2jca 511 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)))
4 issect.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
5 issect.h . . . 4 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
6 issect.o . . . 4 ยท = (compโ€˜๐ถ)
7 issect.i . . . 4 1 = (Idโ€˜๐ถ)
8 issect.s . . . 4 ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
9 issect.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
10 issect.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
11 issect.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11issect 17706 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹))))
13 df-3an 1086 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)) โ†” ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
1412, 13bitrdi 287 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹))))
153, 14mpbirand 704 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4629   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  Hom chom 17214  compcco 17215  Catccat 17614  Idccid 17615  Sectcsect 17697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-sect 17700
This theorem is referenced by:  sectco  17709  dfiso3  17726  monsect  17736  sectid  17739  invcoisoid  17745  isocoinvid  17746  funcsect  17828  fthsect  17884  fucsect  17934  2initoinv  17969  2termoinv  17976  catcisolem  18069
  Copyright terms: Public domain W3C validator