MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issect2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issect2 17744
Description: Property of being a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issect.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
issect.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
issect.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
issect.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
issect.s ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
issect.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
issect.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
issect.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
issect.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
issect.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹))
Assertion
Ref Expression
issect2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem issect2
StepHypRef Expression
1 issect.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
2 issect.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹))
31, 2jca 510 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)))
4 issect.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
5 issect.h . . . 4 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
6 issect.o . . . 4 ยท = (compโ€˜๐ถ)
7 issect.i . . . 4 1 = (Idโ€˜๐ถ)
8 issect.s . . . 4 ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
9 issect.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
10 issect.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
11 issect.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11issect 17743 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹))))
13 df-3an 1086 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)) โ†” ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
1412, 13bitrdi 286 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹))))
153, 14mpbirand 705 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4638   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  Hom chom 17251  compcco 17252  Catccat 17651  Idccid 17652  Sectcsect 17734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-sect 17737
This theorem is referenced by:  sectco  17746  dfiso3  17763  monsect  17773  sectid  17776  invcoisoid  17782  isocoinvid  17783  funcsect  17865  fthsect  17921  fucsect  17971  2initoinv  18006  2termoinv  18013  catcisolem  18106
  Copyright terms: Public domain W3C validator