MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfs 9643
Description: Elementhood in the set of finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnfs (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))

Proof of Theorem cantnfs
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 eqid 2731 . . . . . 6 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
3 cantnfs.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ On)
4 cantnfs.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ On)
52, 3, 4cantnfdm 9641 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
61, 5eqtrid 2783 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
76eleq2d 2818 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
8 breq1 5144 . . . 4 (𝑔 = 𝐹 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝐹 finSupp ∅))
98elrab 3679 . . 3 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↔ (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅))
107, 9bitrdi 286 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
113, 4elmapd 8817 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
1211anbi1d 630 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅) ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
1310, 12bitrd 278 1 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3431  c0 4318   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  Oncon0 6353  wf 6528  (class class class)co 7393  m cmap 8803   finSupp cfsupp 9344   CNF ccnf 9638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-seqom 8430  df-map 8805  df-cnf 9639
This theorem is referenced by:  cantnfcl  9644  cantnfle  9648  cantnflt  9649  cantnff  9651  cantnf0  9652  cantnfrescl  9653  cantnfp1lem1  9655  cantnfp1lem2  9656  cantnfp1lem3  9657  cantnfp1  9658  oemapvali  9661  cantnflem1a  9662  cantnflem1b  9663  cantnflem1c  9664  cantnflem1d  9665  cantnflem1  9666  cantnflem3  9668  cantnf  9670  cnfcomlem  9676  cnfcom  9677  cnfcom2lem  9678  cnfcom3lem  9680  cnfcom3  9681  cantnfub  41842  cantnfresb  41845  cantnf2  41846  naddcnff  41883  naddcnffo  41885  naddcnfcom  41887  naddcnfid1  41888  naddcnfid2  41889  naddcnfass  41890
  Copyright terms: Public domain W3C validator