Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfs 9121
 Description: Elementhood in the set of finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnfs (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))

Proof of Theorem cantnfs
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 eqid 2819 . . . . . 6 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
3 cantnfs.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ On)
4 cantnfs.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ On)
52, 3, 4cantnfdm 9119 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
61, 5syl5eq 2866 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
76eleq2d 2896 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
8 breq1 5060 . . . 4 (𝑔 = 𝐹 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝐹 finSupp ∅))
98elrab 3678 . . 3 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↔ (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅))
107, 9syl6bb 289 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
113, 4elmapd 8412 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
1211anbi1d 631 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅) ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
1310, 12bitrd 281 1 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {crab 3140  ∅c0 4289   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  Oncon0 6184  ⟶wf 6344  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8398   finSupp cfsupp 8825   CNF ccnf 9116 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-seqom 8076  df-map 8400  df-cnf 9117 This theorem is referenced by:  cantnfcl  9122  cantnfle  9126  cantnflt  9127  cantnff  9129  cantnf0  9130  cantnfrescl  9131  cantnfp1lem1  9133  cantnfp1lem2  9134  cantnfp1lem3  9135  cantnfp1  9136  oemapvali  9139  cantnflem1a  9140  cantnflem1b  9141  cantnflem1c  9142  cantnflem1d  9143  cantnflem1  9144  cantnflem3  9146  cantnf  9148  cnfcomlem  9154  cnfcom  9155  cnfcom2lem  9156  cnfcom3lem  9158  cnfcom3  9159
 Copyright terms: Public domain W3C validator