MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfs 9663
Description: Elementhood in the set of finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnfs (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))

Proof of Theorem cantnfs
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 eqid 2730 . . . . . 6 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
3 cantnfs.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ On)
4 cantnfs.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ On)
52, 3, 4cantnfdm 9661 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
61, 5eqtrid 2782 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
76eleq2d 2817 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
8 breq1 5150 . . . 4 (𝑔 = 𝐹 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝐹 finSupp ∅))
98elrab 3682 . . 3 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↔ (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅))
107, 9bitrdi 286 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
113, 4elmapd 8836 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
1211anbi1d 628 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅) ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
1310, 12bitrd 278 1 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  {crab 3430  c0 4321   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Oncon0 6363  wf 6538  (class class class)co 7411  m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363   CNF ccnf 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-seqom 8450  df-map 8824  df-cnf 9659
This theorem is referenced by:  cantnfcl  9664  cantnfle  9668  cantnflt  9669  cantnff  9671  cantnf0  9672  cantnfrescl  9673  cantnfp1lem1  9675  cantnfp1lem2  9676  cantnfp1lem3  9677  cantnfp1  9678  oemapvali  9681  cantnflem1a  9682  cantnflem1b  9683  cantnflem1c  9684  cantnflem1d  9685  cantnflem1  9686  cantnflem3  9688  cantnf  9690  cnfcomlem  9696  cnfcom  9697  cnfcom2lem  9698  cnfcom3lem  9700  cnfcom3  9701  cantnfub  42373  cantnfresb  42376  cantnf2  42377  naddcnff  42414  naddcnffo  42416  naddcnfcom  42418  naddcnfid1  42419  naddcnfid2  42420  naddcnfass  42421
  Copyright terms: Public domain W3C validator