MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfs 9215
Description: Elementhood in the set of finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnfs (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))

Proof of Theorem cantnfs
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 eqid 2739 . . . . . 6 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
3 cantnfs.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ On)
4 cantnfs.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ On)
52, 3, 4cantnfdm 9213 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
61, 5syl5eq 2786 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
76eleq2d 2819 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑆𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
8 breq1 5043 . . . 4 (𝑔 = 𝐹 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝐹 finSupp ∅))
98elrab 3593 . . 3 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↔ (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅))
107, 9bitrdi 290 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
113, 4elmapd 8464 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
1211anbi1d 633 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ∧ 𝐹 finSupp ∅) ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
1310, 12bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {crab 3058  c0 4221   class class class wbr 5040  dom cdm 5535  Oncon0 6183  wf 6346  (class class class)co 7183  m cmap 8450   finSupp cfsupp 8919   CNF ccnf 9210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-seqom 8126  df-map 8452  df-cnf 9211
This theorem is referenced by:  cantnfcl  9216  cantnfle  9220  cantnflt  9221  cantnff  9223  cantnf0  9224  cantnfrescl  9225  cantnfp1lem1  9227  cantnfp1lem2  9228  cantnfp1lem3  9229  cantnfp1  9230  oemapvali  9233  cantnflem1a  9234  cantnflem1b  9235  cantnflem1c  9236  cantnflem1d  9237  cantnflem1  9238  cantnflem3  9240  cantnf  9242  cnfcomlem  9248  cnfcom  9249  cnfcom2lem  9250  cnfcom3lem  9252  cnfcom3  9253
  Copyright terms: Public domain W3C validator