Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefr27cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefr27cl 39800
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Closure of 𝑁. (Contributed by NM, 23-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefr27.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemefr27.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemefr27.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemefr27.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemefr27.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemefr27.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemefr27.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemefr27.c 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdlemefr27.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cdlemefr27cl ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem cdlemefr27cl
StepHypRef Expression
1 cdlemefr27.n . . 3 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
2 simpr2 1193 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
32iffalsed 4535 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢) = 𝐢)
41, 3eqtrid 2779 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑁 = 𝐢)
5 simpl1l 1222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6 simpl1r 1223 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
7 simpl2 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
8 simpl3 1191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
9 simpr1 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
10 cdlemefr27.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 cdlemefr27.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 cdlemefr27.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
13 cdlemefr27.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
14 cdlemefr27.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
15 cdlemefr27.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
16 cdlemefr27.c . . . 4 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
17 cdlemefr27.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme1b 39623 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
195, 6, 7, 8, 9, 18syl23anc 1375 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
204, 19eqeltrd 2828 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  ifcif 4524   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-lat 18409  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-lhyp 39385
This theorem is referenced by:  cdlemefr29bpre0N  39803  cdlemefr29clN  39804  cdlemefr32fvaN  39806  cdlemefr32fva1  39807
  Copyright terms: Public domain W3C validator