Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefr27cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefr27cl 39928
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Closure of 𝑁. (Contributed by NM, 23-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefr27.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemefr27.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemefr27.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemefr27.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemefr27.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemefr27.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemefr27.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemefr27.c 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdlemefr27.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cdlemefr27cl ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem cdlemefr27cl
StepHypRef Expression
1 cdlemefr27.n . . 3 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
2 simpr2 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
32iffalsed 4536 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢) = 𝐢)
41, 3eqtrid 2777 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑁 = 𝐢)
5 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6 simpl1r 1222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
7 simpl2 1189 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
8 simpl3 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
9 simpr1 1191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
10 cdlemefr27.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 cdlemefr27.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 cdlemefr27.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
13 cdlemefr27.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
14 cdlemefr27.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
15 cdlemefr27.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
16 cdlemefr27.c . . . 4 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
17 cdlemefr27.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme1b 39751 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
195, 6, 7, 8, 9, 18syl23anc 1374 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
204, 19eqeltrd 2825 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  ifcif 4525   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  lecple 17234  joincjn 18297  meetcmee 18298  Atomscatm 38787  HLchlt 38874  LHypclh 39509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-lat 18418  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-lhyp 39513
This theorem is referenced by:  cdlemefr29bpre0N  39931  cdlemefr29clN  39932  cdlemefr32fvaN  39934  cdlemefr32fva1  39935
  Copyright terms: Public domain W3C validator