Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefr27cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefr27cl 38866
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Closure of 𝑁. (Contributed by NM, 23-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefr27.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemefr27.l = (le‘𝐾)
cdlemefr27.j = (join‘𝐾)
cdlemefr27.m = (meet‘𝐾)
cdlemefr27.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemefr27.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemefr27.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdlemefr27.c 𝐶 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdlemefr27.n 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
cdlemefr27cl ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑁𝐵)

Proof of Theorem cdlemefr27cl
StepHypRef Expression
1 cdlemefr27.n . . 3 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶)
2 simpr2 1195 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄))
32iffalsed 4497 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶) = 𝐶)
41, 3eqtrid 2788 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑁 = 𝐶)
5 simpl1l 1224 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
6 simpl1r 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑊𝐻)
7 simpl2 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑃𝐴)
8 simpl3 1193 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑄𝐴)
9 simpr1 1194 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑠𝐴)
10 cdlemefr27.l . . . 4 = (le‘𝐾)
11 cdlemefr27.j . . . 4 = (join‘𝐾)
12 cdlemefr27.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
13 cdlemefr27.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 cdlemefr27.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 cdlemefr27.u . . . 4 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
16 cdlemefr27.c . . . 4 𝐶 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
17 cdlemefr27.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
1810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdleme1b 38689 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑠𝐴)) → 𝐶𝐵)
195, 6, 7, 8, 9, 18syl23anc 1377 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝐶𝐵)
204, 19eqeltrd 2838 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑁𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-lat 18321  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-lhyp 38451
This theorem is referenced by:  cdlemefr29bpre0N  38869  cdlemefr29clN  38870  cdlemefr32fvaN  38872  cdlemefr32fva1  38873
  Copyright terms: Public domain W3C validator