Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1202 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp12 1203 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp13 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp2r 1199 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
5 | | simp2l 1198 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π) |
6 | | simp3 1137 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
7 | | cdlemefr27.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemefr27.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemefr27.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemefr27.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemefr27.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdlemefr27.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
13 | | eqid 2731 |
. . . . 5
β’ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
14 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme3fa 39411 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β π΄) |
15 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme3 39412 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β€ π) |
16 | 14, 15 | jca 511 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β π΄ β§ Β¬ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β€ π)) |
17 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 16 | syl132anc 1387 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β π΄ β§ Β¬ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β€ π)) |
18 | | simp2rl 1241 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π
β π΄) |
19 | | cdlemefr27.c |
. . . . . 6
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) |
20 | | cdlemefr27.n |
. . . . . 6
β’ π = if(π β€ (π β¨ π), πΌ, πΆ) |
21 | 19, 20, 13 | cdleme31sn2 39564 |
. . . . 5
β’ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β β¦π
/ π β¦π = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
22 | 18, 6, 21 | syl2anc 583 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β β¦π
/ π β¦π = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
23 | 22 | eleq1d 2817 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (β¦π
/ π β¦π β π΄ β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β π΄)) |
24 | 22 | breq1d 5158 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (β¦π
/ π β¦π β€ π β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β€ π)) |
25 | 24 | notbid 318 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (Β¬ β¦π
/ π β¦π β€ π β Β¬ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β€ π)) |
26 | 23, 25 | anbi12d 630 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((β¦π
/ π β¦π β π΄ β§ Β¬ β¦π
/ π β¦π β€ π) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β π΄ β§ Β¬ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β€ π))) |
27 | 17, 26 | mpbird 257 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (β¦π
/ π β¦π β π΄ β§ Β¬ β¦π
/ π β¦π β€ π)) |