Theorem cdleme1b 40273

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme1.f	⊢ 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)))
cdleme1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme1b	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme1.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)))
2		hllat 39410	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		cdleme1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cdleme1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39336	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐵)
9		cdleme1.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		cdleme1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		cdleme1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12		cdleme1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		cdleme1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
14	9, 10, 11, 6, 12, 13, 5	cdleme0aa 40257	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐵)
15	14	3adant3r3 1185	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
16	5, 10	latjcl 18345	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵)
17	3, 8, 15, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵)
18		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
19	5, 6	atbase 39336	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
21		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
22	5, 6	atbase 39336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
24	5, 10	latjcl 18345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
25	3, 23, 8, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
26	5, 12	lhpbase 40045	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	5, 11	latmcl 18346	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
29	3, 25, 27, 28	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	5, 10	latjcl 18345	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
31	3, 20, 29, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
32	5, 11	latmcl 18346	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
33	3, 17, 31, 32	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
34	1, 33	eqeltrid 2835	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337  Atomscatm 39310  HLchlt 39397  LHypclh 40031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338  df-ats 39314  df-atl 39345  df-cvlat 39369  df-hlat 39398  df-lhyp 40035

This theorem is referenced by:  cdleme3c  40277  cdleme4a  40286  cdleme5  40287  cdleme7e  40294  cdleme11  40317  cdleme15  40325  cdleme22gb  40341  cdleme19b  40351  cdleme19e  40354  cdleme20d  40359  cdleme20j  40365  cdleme20k  40366  cdleme20l2  40368  cdleme20l  40369  cdleme20m  40370  cdleme22e  40391  cdleme22eALTN  40392  cdleme22f  40393  cdleme27cl  40413  cdlemefr27cl  40450  cdleme35fnpq  40496