Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme1b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme1b 39085
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme1.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
cdleme1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdleme1b (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Proof of Theorem cdleme1b
StepHypRef Expression
1 cdleme1.f . 2 𝐹 = ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
2 hllat 38221 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 724 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr3 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5 cdleme1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cdleme1.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38147 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
84, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
9 cdleme1.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdleme1.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdleme1.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
12 cdleme1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
13 cdleme1.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
149, 10, 11, 6, 12, 13, 5cdleme0aa 39069 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
15143adant3r3 1184 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
165, 10latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ 𝐡 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
173, 8, 15, 16syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
18 simpr2 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
195, 6atbase 38147 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2018, 19syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
21 simpr1 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
225, 6atbase 38147 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
245, 10latjcl 18388 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
253, 23, 8, 24syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
265, 12lhpbase 38857 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2726ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
285, 11latmcl 18389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
293, 25, 27, 28syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
305, 10latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
313, 20, 29, 30syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
325, 11latmcl 18389 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐡)
333, 17, 31, 32syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐡)
341, 33eqeltrid 2837 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by:  cdleme3c  39089  cdleme4a  39098  cdleme5  39099  cdleme7e  39106  cdleme11  39129  cdleme15  39137  cdleme22gb  39153  cdleme19b  39163  cdleme19e  39166  cdleme20d  39171  cdleme20j  39177  cdleme20k  39178  cdleme20l2  39180  cdleme20l  39181  cdleme20m  39182  cdleme22e  39203  cdleme22eALTN  39204  cdleme22f  39205  cdleme27cl  39225  cdlemefr27cl  39262  cdleme35fnpq  39308
  Copyright terms: Public domain W3C validator