Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme1b 36004
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l = (le‘𝐾)
cdleme1.j = (join‘𝐾)
cdleme1.m = (meet‘𝐾)
cdleme1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
cdleme1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme1b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹𝐵)

Proof of Theorem cdleme1b
StepHypRef Expression
1 cdleme1.f . 2 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
2 hllat 35141 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 708 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr3 1245 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 cdleme1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdleme1.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35067 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
84, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐵)
9 cdleme1.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
10 cdleme1.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
11 cdleme1.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
12 cdleme1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdleme1.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
149, 10, 11, 6, 12, 13, 5cdleme0aa 35988 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈𝐵)
15143adant3r3 1228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑈𝐵)
165, 10latjcl 17252 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅𝐵𝑈𝐵) → (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵)
173, 8, 15, 16syl3anc 1483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵)
18 simpr2 1243 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
195, 6atbase 35067 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
2018, 19syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐵)
21 simpr1 1241 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
225, 6atbase 35067 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐵)
245, 10latjcl 17252 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑅𝐵) → (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵)
253, 23, 8, 24syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵)
265, 12lhpbase 35776 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2726ad2antlr 709 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑊𝐵)
285, 11latmcl 17253 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵)
293, 25, 27, 28syl3anc 1483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵)
305, 10latjcl 17252 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵 ∧ ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵)
313, 20, 29, 30syl3anc 1483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵)
325, 11latmcl 17253 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))) ∈ 𝐵)
333, 17, 31, 32syl3anc 1483 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))) ∈ 𝐵)
341, 33syl5eqel 2889 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  cfv 6097  (class class class)co 6870  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17145  meetcmee 17146  Latclat 17246  Atomscatm 35041  HLchlt 35128  LHypclh 35762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-lat 17247  df-ats 35045  df-atl 35076  df-cvlat 35100  df-hlat 35129  df-lhyp 35766
This theorem is referenced by:  cdleme3c  36008  cdleme4a  36017  cdleme5  36018  cdleme7e  36025  cdleme11  36048  cdleme15  36056  cdleme22gb  36072  cdleme19b  36082  cdleme19e  36085  cdleme20d  36090  cdleme20j  36096  cdleme20k  36097  cdleme20l2  36099  cdleme20l  36100  cdleme20m  36101  cdleme22e  36122  cdleme22eALTN  36123  cdleme22f  36124  cdleme27cl  36144  cdlemefr27cl  36181  cdleme35fnpq  36227
  Copyright terms: Public domain W3C validator