Theorem cdleme1b 40486

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme1.f	⊢ 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)))
cdleme1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme1b	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme1.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)))
2		hllat 39623	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		cdleme1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cdleme1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39549	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐵)
9		cdleme1.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		cdleme1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		cdleme1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12		cdleme1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		cdleme1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
14	9, 10, 11, 6, 12, 13, 5	cdleme0aa 40470	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐵)
15	14	3adant3r3 1185	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
16	5, 10	latjcl 18362	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵)
17	3, 8, 15, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵)
18		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
19	5, 6	atbase 39549	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
21		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
22	5, 6	atbase 39549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
24	5, 10	latjcl 18362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
25	3, 23, 8, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
26	5, 12	lhpbase 40258	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	5, 11	latmcl 18363	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
29	3, 25, 27, 28	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	5, 10	latjcl 18362	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
31	3, 20, 29, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
32	5, 11	latmcl 18363	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
33	3, 17, 31, 32	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
34	1, 33	eqeltrid 2840	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  joincjn 18234  meetcmee 18235  Latclat 18354  Atomscatm 39523  HLchlt 39610  LHypclh 40244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-lat 18355  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-lhyp 40248

This theorem is referenced by:  cdleme3c  40490  cdleme4a  40499  cdleme5  40500  cdleme7e  40507  cdleme11  40530  cdleme15  40538  cdleme22gb  40554  cdleme19b  40564  cdleme19e  40567  cdleme20d  40572  cdleme20j  40578  cdleme20k  40579  cdleme20l2  40581  cdleme20l  40582  cdleme20m  40583  cdleme22e  40604  cdleme22eALTN  40605  cdleme22f  40606  cdleme27cl  40626  cdlemefr27cl  40663  cdleme35fnpq  40709