Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme1b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme1b 39097
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme1.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
cdleme1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdleme1b (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Proof of Theorem cdleme1b
StepHypRef Expression
1 cdleme1.f . 2 𝐹 = ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
2 hllat 38233 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr3 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5 cdleme1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cdleme1.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38159 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
84, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
9 cdleme1.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdleme1.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdleme1.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
12 cdleme1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
13 cdleme1.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
149, 10, 11, 6, 12, 13, 5cdleme0aa 39081 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
15143adant3r3 1185 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
165, 10latjcl 18392 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ 𝐡 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
173, 8, 15, 16syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ 𝐡)
18 simpr2 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
195, 6atbase 38159 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2018, 19syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
21 simpr1 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
225, 6atbase 38159 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
245, 10latjcl 18392 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
253, 23, 8, 24syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
265, 12lhpbase 38869 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2726ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
285, 11latmcl 18393 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
293, 25, 27, 28syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
305, 10latjcl 18392 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
313, 20, 29, 30syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
325, 11latmcl 18393 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐡)
333, 17, 31, 32syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∈ 𝐡)
341, 33eqeltrid 2838 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18385  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-lhyp 38859
This theorem is referenced by:  cdleme3c  39101  cdleme4a  39110  cdleme5  39111  cdleme7e  39118  cdleme11  39141  cdleme15  39149  cdleme22gb  39165  cdleme19b  39175  cdleme19e  39178  cdleme20d  39183  cdleme20j  39189  cdleme20k  39190  cdleme20l2  39192  cdleme20l  39193  cdleme20m  39194  cdleme22e  39215  cdleme22eALTN  39216  cdleme22f  39217  cdleme27cl  39237  cdlemefr27cl  39274  cdleme35fnpq  39320
  Copyright terms: Public domain W3C validator