Theorem cdleme1b 40228

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme1.f	⊢ 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)))
cdleme1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme1b	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme1.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)))
2		hllat 39364	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		cdleme1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cdleme1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39290	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐵)
9		cdleme1.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		cdleme1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		cdleme1.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12		cdleme1.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		cdleme1.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
14	9, 10, 11, 6, 12, 13, 5	cdleme0aa 40212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐵)
15	14	3adant3r3 1185	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
16	5, 10	latjcl 18484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵)
17	3, 8, 15, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵)
18		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
19	5, 6	atbase 39290	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
21		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
22	5, 6	atbase 39290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
24	5, 10	latjcl 18484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
25	3, 23, 8, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
26	5, 12	lhpbase 40000	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
28	5, 11	latmcl 18485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
29	3, 25, 27, 28	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
30	5, 10	latjcl 18484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
31	3, 20, 29, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
32	5, 11	latmcl 18485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
33	3, 17, 31, 32	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
34	1, 33	eqeltrid 2845	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990

This theorem is referenced by:  cdleme3c  40232  cdleme4a  40241  cdleme5  40242  cdleme7e  40249  cdleme11  40272  cdleme15  40280  cdleme22gb  40296  cdleme19b  40306  cdleme19e  40309  cdleme20d  40314  cdleme20j  40320  cdleme20k  40321  cdleme20l2  40323  cdleme20l  40324  cdleme20m  40325  cdleme22e  40346  cdleme22eALTN  40347  cdleme22f  40348  cdleme27cl  40368  cdlemefr27cl  40405  cdleme35fnpq  40451