Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme1b 36375
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l = (le‘𝐾)
cdleme1.j = (join‘𝐾)
cdleme1.m = (meet‘𝐾)
cdleme1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
cdleme1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme1b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹𝐵)

Proof of Theorem cdleme1b
StepHypRef Expression
1 cdleme1.f . 2 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
2 hllat 35512 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 716 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr3 1209 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 cdleme1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdleme1.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35438 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
84, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐵)
9 cdleme1.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
10 cdleme1.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
11 cdleme1.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
12 cdleme1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdleme1.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
149, 10, 11, 6, 12, 13, 5cdleme0aa 36359 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈𝐵)
15143adant3r3 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑈𝐵)
165, 10latjcl 17437 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅𝐵𝑈𝐵) → (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵)
173, 8, 15, 16syl3anc 1439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵)
18 simpr2 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
195, 6atbase 35438 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
2018, 19syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐵)
21 simpr1 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
225, 6atbase 35438 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐵)
245, 10latjcl 17437 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑅𝐵) → (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵)
253, 23, 8, 24syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵)
265, 12lhpbase 36147 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2726ad2antlr 717 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑊𝐵)
285, 11latmcl 17438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵)
293, 25, 27, 28syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵)
305, 10latjcl 17437 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵 ∧ ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵)
313, 20, 29, 30syl3anc 1439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵)
325, 11latmcl 17438 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))) ∈ 𝐵)
333, 17, 31, 32syl3anc 1439 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))) ∈ 𝐵)
341, 33syl5eqel 2862 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  joincjn 17330  meetcmee 17331  Latclat 17431  Atomscatm 35412  HLchlt 35499  LHypclh 36133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-lat 17432  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-lhyp 36137
This theorem is referenced by:  cdleme3c  36379  cdleme4a  36388  cdleme5  36389  cdleme7e  36396  cdleme11  36419  cdleme15  36427  cdleme22gb  36443  cdleme19b  36453  cdleme19e  36456  cdleme20d  36461  cdleme20j  36467  cdleme20k  36468  cdleme20l2  36470  cdleme20l  36471  cdleme20m  36472  cdleme22e  36493  cdleme22eALTN  36494  cdleme22f  36495  cdleme27cl  36515  cdlemefr27cl  36552  cdleme35fnpq  36598
  Copyright terms: Public domain W3C validator