Theorem clim2d 45657

Description: The limit of complex number sequence 𝐹 is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2d.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
clim2d.f	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
clim2d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
clim2d.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
clim2d.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
clim2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
clim2d	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem clim2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2d.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
2		clim2d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
3		clim2d.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		clim2d.f	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5		clim2d.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		clim2d.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climrel 15534	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
9		brrelex1 5746	. . . . . 6 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
10	8, 2, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
11		clim2d.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
12	3, 4, 5, 6, 10, 11	clim2f2 45654	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))
13	2, 12	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
14	13	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))
15		breq2 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))
16	15	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
17	16	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
18	17	rexbidv 3179	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
19	18	rspcva 3623	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))
20	1, 14, 19	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3481   class class class wbr 5151  Rel wrel 5698  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℂcc 11160   < clt 11302   − cmin 11499  ℤcz 12620  ℤ_≥cuz 12885  ℝ⁺crp 13041  abscabs 15279   ⇝ cli 15526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-neg 11502  df-z 12621  df-uz 12886  df-clim 15530

This theorem is referenced by:  climleltrp  45660