Theorem clim2d 45621

Description: The limit of complex number sequence 𝐹 is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2d.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
clim2d.f	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
clim2d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
clim2d.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
clim2d.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
clim2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
clim2d	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem clim2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2d.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
2		clim2d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
3		clim2d.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		clim2d.f	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5		clim2d.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		clim2d.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climrel 15509	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
9		brrelex1 5718	. . . . . 6 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
10	8, 2, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
11		clim2d.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
12	3, 4, 5, 6, 10, 11	clim2f2 45618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))
13	2, 12	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
14	13	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))
15		breq2 5127	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))
16	15	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
17	16	ralbidv 3165	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
18	17	rexbidv 3166	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
19	18	rspcva 3603	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))
20	1, 14, 19	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2882  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3463   class class class wbr 5123  Rel wrel 5670  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  ℂcc 11134   < clt 11276   − cmin 11473  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12859  ℝ⁺crp 13015  abscabs 15254   ⇝ cli 15501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7415  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-neg 11476  df-z 12596  df-uz 12860  df-clim 15505

This theorem is referenced by:  climleltrp  45624