Theorem clim2d 40700

Description: The limit of complex number sequence 𝐹 is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2d.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
clim2d.f	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
clim2d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
clim2d.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
clim2d.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
clim2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
clim2d	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem clim2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2d.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
2		clim2d.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
3		clim2d.k	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		clim2d.f	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5		clim2d.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		clim2d.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climrel 14600	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel ⇝ )
9		brrelex1 5390	. . . . . 6 ⊢ ((Rel ⇝ ∧ 𝐹 ⇝ 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
10	8, 2, 9	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
11		clim2d.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
12	3, 4, 5, 6, 10, 11	clim2f2 40697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))
13	2, 12	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
14	13	simprd 491	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))
15		breq2 4877	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))
16	15	anbi2d 624	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
17	16	ralbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
18	17	rexbidv 3262	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋)))
19	18	rspcva 3524	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))
20	1, 14, 19	syl2anc 581	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658  Ⅎwnf 1884   ∈ wcel 2166  Ⅎwnfc 2956  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   class class class wbr 4873  Rel wrel 5347  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250   < clt 10391   − cmin 10585  ℤcz 11704  ℤ_≥cuz 11968  ℝ⁺crp 12112  abscabs 14351   ⇝ cli 14592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-neg 10588  df-z 11705  df-uz 11969  df-clim 14596

This theorem is referenced by:  climleltrp  40703