Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clim2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2d 44437
Description: The limit of complex number sequence 𝐹 is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2d.k 𝑘𝜑
clim2d.f 𝑘𝐹
clim2d.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
clim2d.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2d.c (𝜑𝐹𝐴)
clim2d.b ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
clim2d.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
clim2d (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem clim2d
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2d.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
2 clim2d.c . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
3 clim2d.k . . . . 5 𝑘𝜑
4 clim2d.f . . . . 5 𝑘𝐹
5 clim2d.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 clim2d.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climrel 15436 . . . . . . 7 Rel ⇝
87a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → Rel ⇝ )
9 brrelex1 5730 . . . . . 6 ((Rel ⇝ ∧ 𝐹𝐴) → 𝐹 ∈ V)
108, 2, 9syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 clim2d.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
123, 4, 5, 6, 10, 11clim2f2 44434 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))))
132, 12mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)))
1413simprd 497 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))
15 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋))
1615anbi2d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋)))
1716ralbidv 3178 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋)))
1817rexbidv 3179 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋)))
1918rspcva 3611 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋))
201, 14, 19syl2anc 585 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2884  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  Rel wrel 5682  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108   < clt 11248  cmin 11444  cz 12558  cuz 12822  +crp 12974  abscabs 15181  cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  climleltrp  44440
  Copyright terms: Public domain W3C validator