Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climd 42312
 Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence 𝐹 is 𝐴, or 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climd.1 𝑘𝜑
climd.2 𝑘𝐹
climd.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
climd.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climd.5 (𝜑𝐹𝐴)
climd.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
climd.7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
climd (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climd.7 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
2 climd.5 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
3 climd.1 . . . . 5 𝑘𝜑
4 climd.2 . . . . 5 𝑘𝐹
5 climd.3 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climd.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climrel 14841 . . . . . . 7 Rel ⇝
87brrelex1i 5572 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
92, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
10 climd.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
113, 4, 5, 6, 9, 10clim2f2 42310 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))))
122, 11mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)))
1312simprd 499 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))
14 breq2 5034 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋))
1514anbi2d 631 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋)))
1615rexralbidv 3260 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋)))
1716rspcva 3569 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋))
181, 13, 17syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   < clt 10664   − cmin 10859  ℤcz 11969  ℤ≥cuz 12231  ℝ+crp 12377  abscabs 14585   ⇝ cli 14833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-clim 14837 This theorem is referenced by:  fnlimabslt  42319
 Copyright terms: Public domain W3C validator