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Theorem climleltrp 41818
Description: The limit of complex number sequence 𝐹 is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climleltrp.k 𝑘𝜑
climleltrp.f 𝑘𝐹
climleltrp.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climleltrp.n (𝜑𝑁𝑍)
climleltrp.r ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climleltrp.a (𝜑𝐹𝐴)
climleltrp.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
climleltrp.l (𝜑𝐴𝐶)
climleltrp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
climleltrp (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑁,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem climleltrp
StepHypRef Expression
1 climleltrp.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
2 climleltrp.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2syl6eleq 2927 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzss 12257 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
65, 2sseqtrrdi 4021 . 2 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
7 climleltrp.k . . . 4 𝑘𝜑
8 climleltrp.f . . . 4 𝑘𝐹
9 uzssz 12256 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
109, 3sseldi 3968 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 eqid 2825 . . . 4 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
12 climleltrp.a . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
13 eqidd 2826 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
14 climleltrp.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
157, 8, 10, 11, 12, 13, 14clim2d 41815 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
16 nfv 1908 . . . . . 6 𝑘 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)
177, 16nfan 1893 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
18 simplll 771 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝜑)
19 uzss 12257 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
2019ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
21 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
2220, 21sseldd 3971 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
24 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
25 climleltrp.r . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2613, 25eqeltrd 2917 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
28 climcl 14849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3126recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3230, 31pncan3d 10992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝐹𝑘))
3332eqcomd 2831 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3433adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3534, 27eqeltrrd 2918 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
36 climleltrp.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3736ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
387, 8, 11, 10, 12, 25climreclf 41806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
4027, 39resubcld 11060 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
4137, 40readdcld 10662 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
4214rpred 12424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
4437, 43readdcld 10662 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + 𝑋) ∈ ℝ)
45 climleltrp.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝐶)
4645ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴𝐶)
4739, 37, 40, 46leadd1dd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≤ (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
4831adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4930adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5048, 49subcld 10989 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
5150abscld 14789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5240leabsd 14767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
53 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
5440, 51, 43, 52, 53lelttrd 10790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) < 𝑋)
5540, 43, 37, 54ltadd2dd 10791 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5635, 41, 44, 47, 55lelttrd 10790 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5734, 56eqbrtrd 5084 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))
5827, 57jca 512 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
5918, 23, 24, 58syl21anc 835 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6059adantrl 712 . . . . . 6 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6160ex 413 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6217, 61ralimdaa 3221 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6362reximdva 3278 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6415, 63mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
65 ssrexv 4037 . 2 ((ℤ𝑁) ⊆ 𝑍 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
666, 64, 65sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wnfc 2965  wral 3142  wrex 3143  wss 3939   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  cz 11973  cuz 12235  +crp 12382  abscabs 14586  cli 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839
This theorem is referenced by:  smflimlem2  42910
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