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Theorem climleltrp 40421
Description: The limit of complex number sequence 𝐹 is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climleltrp.k 𝑘𝜑
climleltrp.f 𝑘𝐹
climleltrp.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climleltrp.n (𝜑𝑁𝑍)
climleltrp.r ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climleltrp.a (𝜑𝐹𝐴)
climleltrp.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
climleltrp.l (𝜑𝐴𝐶)
climleltrp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
climleltrp (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑁,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem climleltrp
StepHypRef Expression
1 climleltrp.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
2 climleltrp.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2syl6eleq 2860 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzss 11914 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
65, 2syl6sseqr 3801 . 2 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
7 climleltrp.k . . . 4 𝑘𝜑
8 climleltrp.f . . . 4 𝑘𝐹
9 uzssz 11913 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
109, 3sseldi 3750 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 eqid 2771 . . . 4 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
12 climleltrp.a . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
13 eqidd 2772 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
14 climleltrp.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
157, 8, 10, 11, 12, 13, 14clim2d 40418 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
16 nfv 1995 . . . . . 6 𝑘 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)
177, 16nfan 1980 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
18 simplll 758 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝜑)
19 uzss 11914 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
2019ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
21 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
2220, 21sseldd 3753 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
2322adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
24 simpr 471 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
25 climleltrp.r . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2613, 25eqeltrd 2850 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2726adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
28 climcl 14438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3126recnd 10274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3230, 31pncan3d 10601 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝐹𝑘))
3332eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3433adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3534, 27eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
36 climleltrp.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3736ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
387, 8, 11, 10, 12, 25climreclf 40409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
4027, 39resubcld 10664 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
4137, 40readdcld 10275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
4214rpred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
4437, 43readdcld 10275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + 𝑋) ∈ ℝ)
45 climleltrp.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝐶)
4645ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴𝐶)
4739, 37, 40, 46leadd1dd 10847 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≤ (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
4831adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4930adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5048, 49subcld 10598 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
5150abscld 14383 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5240leabsd 14361 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
53 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
5440, 51, 43, 52, 53lelttrd 10401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) < 𝑋)
5540, 43, 37, 54ltadd2dd 10402 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5635, 41, 44, 47, 55lelttrd 10401 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5734, 56eqbrtrd 4809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))
5827, 57jca 501 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
5918, 23, 24, 58syl21anc 1475 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6059adantrl 695 . . . . . 6 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6160ex 397 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6217, 61ralimdaa 3107 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6362reximdva 3165 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6415, 63mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
65 ssrexv 3816 . 2 ((ℤ𝑁) ⊆ 𝑍 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
666, 64, 65sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  wnfc 2900  wral 3061  wrex 3062  wss 3723   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141   + caddc 10145   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  cz 11584  cuz 11893  +crp 12035  abscabs 14182  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428
This theorem is referenced by:  smflimlem2  41495
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