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Theorem climleltrp 40546
Description: The limit of complex number sequence 𝐹 is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climleltrp.k 𝑘𝜑
climleltrp.f 𝑘𝐹
climleltrp.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climleltrp.n (𝜑𝑁𝑍)
climleltrp.r ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climleltrp.a (𝜑𝐹𝐴)
climleltrp.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
climleltrp.l (𝜑𝐴𝐶)
climleltrp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
climleltrp (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹   𝑗,𝑁,𝑘   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem climleltrp
StepHypRef Expression
1 climleltrp.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
2 climleltrp.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2syl6eleq 2854 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 uzss 11907 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
65, 2syl6sseqr 3812 . 2 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
7 climleltrp.k . . . 4 𝑘𝜑
8 climleltrp.f . . . 4 𝑘𝐹
9 uzssz 11906 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
109, 3sseldi 3759 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 eqid 2765 . . . 4 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
12 climleltrp.a . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
13 eqidd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
14 climleltrp.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
157, 8, 10, 11, 12, 13, 14clim2d 40543 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
16 nfv 2009 . . . . . 6 𝑘 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)
177, 16nfan 1998 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
18 simplll 791 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝜑)
19 uzss 11907 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
2019ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑁))
21 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
2220, 21sseldd 3762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
2322adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
24 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
25 climleltrp.r . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2613, 25eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2726adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
28 climcl 14515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3126recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3230, 31pncan3d 10649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝐹𝑘))
3332eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3433adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) = (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3534, 27eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
36 climleltrp.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3736ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
387, 8, 11, 10, 12, 25climreclf 40534 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
4027, 39resubcld 10712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
4137, 40readdcld 10323 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
4214rpred 12070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
4437, 43readdcld 10323 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + 𝑋) ∈ ℝ)
45 climleltrp.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝐶)
4645ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴𝐶)
4739, 37, 40, 46leadd1dd 10895 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≤ (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
4831adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4930adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5048, 49subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
5150abscld 14460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5240leabsd 14438 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
53 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
5440, 51, 43, 52, 53lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) < 𝑋)
5540, 43, 37, 54ltadd2dd 10450 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐶 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5635, 41, 44, 47, 55lelttrd 10449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐴 + ((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝐶 + 𝑋))
5734, 56eqbrtrd 4831 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))
5827, 57jca 507 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
5918, 23, 24, 58syl21anc 866 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6059adantrl 707 . . . . . 6 ((((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
6160ex 401 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6217, 61ralimdaa 3105 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6362reximdva 3163 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
6415, 63mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
65 ssrexv 3827 . 2 ((ℤ𝑁) ⊆ 𝑍 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋))))
666, 64, 65sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) < (𝐶 + 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wnfc 2894  wral 3055  wrex 3056  wss 3732   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  abscabs 14259  cli 14500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-rlim 14505
This theorem is referenced by:  smflimlem2  41620
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