Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimfvre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimfvre 40417
Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimfvre.p 𝑚𝜑
fnlimfvre.m 𝑚𝐹
fnlimfvre.n 𝑥𝐹
fnlimfvre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimfvre.f ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimfvre (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimfvre.x . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
2 fnlimfvre.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑥𝑍
4 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑥(ℤ𝑛)
5 fnlimfvre.n . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
6 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑚
75, 6nffv 6337 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐹𝑚)
87nfdm 5503 . . . . . . . . 9 𝑥dom (𝐹𝑚)
94, 8nfiin 4683 . . . . . . . 8 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
103, 9nfiun 4682 . . . . . . 7 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
1110ssrab2f 39814 . . . . . 6 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
122, 11eqsstri 3784 . . . . 5 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
1312sseli 3748 . . . 4 (𝑋𝐷𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
14 eliun 4658 . . . 4 (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
1513, 14sylib 208 . . 3 (𝑋𝐷 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
161, 15syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
17 nfv 1995 . . 3 𝑛𝜑
18 nfv 1995 . . 3 𝑛( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ
19 fnlimfvre.p . . . . . . 7 𝑚𝜑
20 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑚 𝑛𝑍
21 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑚𝑋
22 nfii1 4685 . . . . . . . 8 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2321, 22nfel 2926 . . . . . . 7 𝑚 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2419, 20, 23nf3an 1983 . . . . . 6 𝑚(𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
25 uzssz 11906 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
26 fnlimfvre.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
2726eleq2i 2842 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
2827biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
2925, 28sseldi 3750 . . . . . . 7 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑛 ∈ ℤ)
31 eqid 2771 . . . . . 6 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3226fvexi 6341 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
3426uztrn2 11904 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
3534ssd 39766 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
36353ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
37 fvexd 6342 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
38 fvexd 6342 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (ℤ𝑛) ∈ V)
39 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑛))
4039ssd 39766 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑛))
41 fvexd 6342 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
42 eqidd 2772 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
4324, 30, 31, 33, 36, 37, 38, 40, 41, 42climfveqmpt 40414 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
442eleq2i 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
4544biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
46 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑋
477, 46nffv 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑋)
483, 47nfmpt 4880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
49 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥dom ⇝
5048, 49nfel 2926 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝
51 fveq2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
5251mpteq2dv 4879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
5352eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5446, 10, 50, 53elrabf 3511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↔ (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5554biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5655simprd 483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
5745, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐷 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
5857adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
59 nfmpt1 4881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
60 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚dom ⇝
6159, 60nfel 2926 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
62 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑗𝑍
6362nfci 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑍
6463, 22nfiun 4682 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6561, 64nfrab 3272 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
662, 65nfcxfr 2911 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚𝐷
6721, 66nfel 2926 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 𝑋𝐷
6867, 20nfan 1980 . . . . . . . . . . 11 𝑚(𝑋𝐷𝑛𝑍)
6929adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
7032a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → 𝑍 ∈ V)
7135adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
72 fvexd 6342 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐷𝑛𝑍) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
73 fvexd 6342 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ∈ V)
74 ssid 3773 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑛)
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑛))
76 fvexd 6342 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐷𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
77 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐷𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
7868, 69, 31, 70, 71, 72, 73, 75, 76, 77climeldmeqmpt 40411 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
7958, 78mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
80 climdm 14486 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
8179, 80sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
821, 81sylan 569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
83823adant3 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
84 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
85 simpl2 1229 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑍)
86 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗dom (𝐹𝑚)
87 fnlimfvre.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚𝐹
88 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚𝑗
8987, 88nffv 6337 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚(𝐹𝑗)
9089nfdm 5503 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚dom (𝐹𝑗)
91 fveq2 6330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑗))
9291dmeqd 5462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑗))
9386, 90, 92cbviin 4692 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗)
9493eleq2i 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗))
9594biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → 𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗))
9695adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗))
97 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑛))
98 eliinid 39808 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
9996, 97, 98syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
100993ad2antl3 1202 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
101 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑛))
102 fvexd 6342 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V)
10389, 21nffv 6337 . . . . . . . . . . 11 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑋)
10491fveq1d 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
105 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
10688, 103, 104, 105fvmptf 6441 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑛) ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
107101, 102, 106syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
108107adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
109 simpll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
11034adantll 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
11119, 62nfan 1980 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚(𝜑𝑗𝑍)
112 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚
11389, 90, 112nff 6179 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚(𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ
114111, 113nfim 1977 . . . . . . . . . . . 12 𝑚((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
115 eleq1w 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚𝑍𝑗𝑍))
116115anbi2d 614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → ((𝜑𝑚𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
11791, 92feq12d 6171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ ↔ (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ))
118116, 117imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑗 → (((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)))
119 fnlimfvre.f . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
120114, 118, 119chvar 2424 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
121109, 110, 120syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
1221213adantl3 1173 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
123 simpl3 1231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
124122, 123ffvelrnd 6501 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℝ)
125108, 124eqeltrd 2850 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) ∈ ℝ)
12684, 85, 100, 39, 125syl31anc 1479 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) ∈ ℝ)
12731, 30, 83, 126climrecl 14515 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
12843, 127eqeltrd 2850 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
1291283exp 1112 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)))
13017, 18, 129rexlimd 3174 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ))
13116, 130mpd 15 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  wnfc 2900  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723   ciun 4654   ciin 4655   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  wf 6025  cfv 6029  cr 10135  cz 11577  cuz 11886  cli 14416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fl 12794  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-rlim 14421
This theorem is referenced by:  fnlimfvre2  40420  fnlimf  40421  smflimlem4  41495  smflim  41498
  Copyright terms: Public domain W3C validator