Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimfvre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimfvre 41839
Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimfvre.p 𝑚𝜑
fnlimfvre.m 𝑚𝐹
fnlimfvre.n 𝑥𝐹
fnlimfvre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimfvre.f ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimfvre.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre.x (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimfvre (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimfvre.x . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
2 fnlimfvre.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑥𝑍
4 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑥(ℤ𝑛)
5 fnlimfvre.n . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐹
6 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑚
75, 6nffv 6679 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐹𝑚)
87nfdm 5822 . . . . . . . . 9 𝑥dom (𝐹𝑚)
94, 8nfiin 4947 . . . . . . . 8 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
103, 9nfiun 4946 . . . . . . 7 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
1110ssrab2f 41268 . . . . . 6 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
122, 11eqsstri 4005 . . . . 5 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
1312sseli 3967 . . . 4 (𝑋𝐷𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
14 eliun 4921 . . . 4 (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
1513, 14sylib 219 . . 3 (𝑋𝐷 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
161, 15syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
17 nfv 1908 . . 3 𝑛𝜑
18 nfv 1908 . . 3 𝑛( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ
19 fnlimfvre.p . . . . . . 7 𝑚𝜑
20 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑚 𝑛𝑍
21 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑚𝑋
22 nfii1 4951 . . . . . . . 8 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2321, 22nfel 2997 . . . . . . 7 𝑚 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2419, 20, 23nf3an 1895 . . . . . 6 𝑚(𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
25 uzssz 12258 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
26 fnlimfvre.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
2726eleq2i 2909 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
2827biimpi 217 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
2925, 28sseldi 3969 . . . . . . 7 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑛 ∈ ℤ)
31 eqid 2826 . . . . . 6 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3226fvexi 6683 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
3426uztrn2 12256 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
3534ssd 41228 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
36353ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
37 fvexd 6684 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
38 fvexd 6684 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (ℤ𝑛) ∈ V)
39 ssidd 3994 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑛))
40 fvexd 6684 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
41 eqidd 2827 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
4224, 30, 31, 33, 36, 37, 38, 39, 40, 41climfveqmpt 41836 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
432eleq2i 2909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
4443biimpi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
45 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑋
467, 45nffv 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑋)
473, 46nfmpt 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
48 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥dom ⇝
4947, 48nfel 2997 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝
50 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
5150mpteq2dv 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
5251eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5345, 10, 49, 52elrabf 3680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↔ (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5453biimpi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
5554simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
5644, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐷 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
5756adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
58 nfmpt1 5161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
59 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚dom ⇝
6058, 59nfel 2997 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
61 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑗𝑍
6261nfci 2969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚𝑍
6362, 22nfiun 4946 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6460, 63nfrab 3392 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
652, 64nfcxfr 2980 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚𝐷
6621, 65nfel 2997 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 𝑋𝐷
6766, 20nfan 1893 . . . . . . . . . . 11 𝑚(𝑋𝐷𝑛𝑍)
6829adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
6932a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → 𝑍 ∈ V)
7035adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
71 fvexd 6684 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐷𝑛𝑍) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
72 fvexd 6684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ∈ V)
73 ssidd 3994 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑛))
74 fvexd 6684 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐷𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
75 eqidd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐷𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
7667, 68, 31, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75climeldmeqmpt 41833 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ))
7757, 76mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ )
78 climdm 14906 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
7977, 78sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
801, 79sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
81803adant3 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
82 simpl1 1185 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
83 simpl2 1186 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑍)
84 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗dom (𝐹𝑚)
85 fnlimfvre.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚𝐹
86 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚𝑗
8785, 86nffv 6679 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚(𝐹𝑗)
8887nfdm 5822 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚dom (𝐹𝑗)
89 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑗))
9089dmeqd 5773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑗))
9184, 88, 90cbviin 4959 . . . . . . . . . . . 12 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗)
9291eleq2i 2909 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗))
9392biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → 𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗))
9493adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗))
95 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑛))
96 eliinid 41262 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑗) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
9794, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
98973ad2antl3 1181 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
99 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑛))
100 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑛))
101 fvexd 6684 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V)
10287, 21nffv 6679 . . . . . . . . . . 11 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑋)
10389fveq1d 6671 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
104 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
10586, 102, 103, 104fvmptf 6787 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑛) ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
106100, 101, 105syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
107106adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
108 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
10934adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
11019, 61nfan 1893 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚(𝜑𝑗𝑍)
111 nfcv 2982 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚
11287, 88, 111nff 6509 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚(𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ
113110, 112nfim 1890 . . . . . . . . . . . 12 𝑚((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
114 eleq1w 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚𝑍𝑗𝑍))
115114anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → ((𝜑𝑚𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
11689, 90feq12d 6501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ ↔ (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ))
117115, 116imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑗 → (((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)))
118 fnlimfvre.f . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
119113, 117, 118chvar 2409 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
120108, 109, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
1211203adantl3 1162 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑗):dom (𝐹𝑗)⟶ℝ)
122 simpl3 1187 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗))
123121, 122ffvelrnd 6850 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℝ)
124107, 123eqeltrd 2918 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 ∈ dom (𝐹𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) ∈ ℝ)
12582, 83, 98, 99, 124syl31anc 1367 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) ∈ ℝ)
12631, 30, 81, 125climrecl 14935 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
12742, 126eqeltrd 2918 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
1281273exp 1113 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)))
12917, 18, 128rexlimd 3322 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ))
13016, 129mpd 15 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wnfc 2966  wrex 3144  {crab 3147  Vcvv 3500  wss 3940   ciun 4917   ciin 4918   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  wf 6350  cfv 6354  cr 10530  cz 11975  cuz 12237  cli 14836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841
This theorem is referenced by:  fnlimfvre2  41842  fnlimf  41843  smflimlem4  42935  smflim  42938
  Copyright terms: Public domain W3C validator