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Theorem fnlimfvre 44001
Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimfvre.p β„²π‘šπœ‘
fnlimfvre.m β„²π‘šπΉ
fnlimfvre.n β„²π‘₯𝐹
fnlimfvre.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
fnlimfvre.f ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
fnlimfvre.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
fnlimfvre.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fnlimfvre (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   π‘š,𝑋,𝑛,π‘₯   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š)   𝐷(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝑀(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem fnlimfvre
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimfvre.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2 fnlimfvre.d . . . . . 6 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
3 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑍
4 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(β„€β‰₯β€˜π‘›)
5 fnlimfvre.n . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝐹
6 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯π‘š
75, 6nffv 6853 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘š)
87nfdm 5907 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘š)
94, 8nfiin 4986 . . . . . . . 8 β„²π‘₯∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
103, 9nfiun 4985 . . . . . . 7 β„²π‘₯βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
1110ssrab2f 43415 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
122, 11eqsstri 3979 . . . . 5 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
1312sseli 3941 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š))
14 eliun 4959 . . . 4 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š))
1513, 14sylib 217 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š))
161, 15syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š))
17 nfv 1918 . . 3 β„²π‘›πœ‘
18 nfv 1918 . . 3 Ⅎ𝑛( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) ∈ ℝ
19 fnlimfvre.p . . . . . . 7 β„²π‘šπœ‘
20 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘š 𝑛 ∈ 𝑍
21 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘šπ‘‹
22 nfii1 4990 . . . . . . . 8 β„²π‘šβˆ© π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
2321, 22nfel 2918 . . . . . . 7 β„²π‘š 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
2419, 20, 23nf3an 1905 . . . . . 6 β„²π‘š(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š))
25 uzssz 12789 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
26 fnlimfvre.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2726eleq2i 2826 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2827biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2925, 28sselid 3943 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
30293ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
31 eqid 2733 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘›)
3226fvexi 6857 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ 𝑍 ∈ V)
3426uztrn2 12787 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
3534ssd 43378 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† 𝑍)
36353ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† 𝑍)
37 fvexd 6858 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ V)
38 fvexd 6858 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ∈ V)
39 ssidd 3968 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘›))
40 fvexd 6858 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ V)
41 eqidd 2734 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))
4224, 30, 31, 33, 36, 37, 38, 39, 40, 41climfveqmpt 43998 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) = ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))))
432eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ })
4443biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ })
45 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯𝑋
467, 45nffv 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)
473, 46nfmpt 5213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))
48 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯dom ⇝
4947, 48nfel 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝
50 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))
5150mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)))
5251eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ↔ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ ))
5345, 10, 49, 52elrabf 3642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } ↔ (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ ))
5453biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } β†’ (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ ))
5554simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
5644, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
5756adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
58 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘š(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
59 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘šdom ⇝
6058, 59nfel 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘š(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝
61 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘š 𝑗 ∈ 𝑍
6261nfci 2887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘šπ‘
6362, 22nfiun 4985 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘šβˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
6460, 63nfrabw 3439 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘š{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
652, 64nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘šπ·
6621, 65nfel 2918 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘š 𝑋 ∈ 𝐷
6766, 20nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘š(𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
6829adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
6932a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑍 ∈ V)
7035adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† 𝑍)
71 fvexd 6858 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ V)
72 fvexd 6858 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ∈ V)
73 ssidd 3968 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘›))
74 fvexd 6858 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ V)
75 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))
7667, 68, 31, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75climeldmeqmpt 43995 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ ))
7757, 76mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ )
78 climdm 15442 . . . . . . . . 9 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ∈ dom ⇝ ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ⇝ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))))
7977, 78sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ⇝ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))))
801, 79sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ⇝ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))))
81803adant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ⇝ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))))
82 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ πœ‘)
83 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
84 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗dom (πΉβ€˜π‘š)
85 fnlimfvre.m . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘šπΉ
86 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘šπ‘—
8785, 86nffv 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘—)
8887nfdm 5907 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘šdom (πΉβ€˜π‘—)
89 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘—))
9089dmeqd 5862 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑗 β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘—))
9184, 88, 90cbviin 4998 . . . . . . . . . . . 12 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = ∩ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘—)
9291eleq2i 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ↔ 𝑋 ∈ ∩ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘—))
9392biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) β†’ 𝑋 ∈ ∩ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘—))
9493adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑋 ∈ ∩ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘—))
95 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
96 eliinid 43409 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ∩ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘—) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑋 ∈ dom (πΉβ€˜π‘—))
9794, 95, 96syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑋 ∈ dom (πΉβ€˜π‘—))
98973ad2antl3 1188 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑋 ∈ dom (πΉβ€˜π‘—))
99 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
100 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
101 fvexd 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ V)
10287, 21nffv 6853 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹)
10389fveq1d 6845 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹))
104 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) = (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))
10586, 102, 103, 104fvmptf 6970 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ V) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹))
106100, 101, 105syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹))
107106adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ dom (πΉβ€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹))
108 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ πœ‘)
10934adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
11019, 61nfan 1903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘š(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
111 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘šβ„
11287, 88, 111nff 6665 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘—):dom (πΉβ€˜π‘—)βŸΆβ„
113110, 112nfim 1900 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘š((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—):dom (πΉβ€˜π‘—)βŸΆβ„)
114 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑗 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
115114anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
11689, 90feq12d 6657 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„ ↔ (πΉβ€˜π‘—):dom (πΉβ€˜π‘—)βŸΆβ„))
117115, 116imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—):dom (πΉβ€˜π‘—)βŸΆβ„)))
118 fnlimfvre.f . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
119113, 117, 118chvarfv 2234 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—):dom (πΉβ€˜π‘—)βŸΆβ„)
120108, 109, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘—):dom (πΉβ€˜π‘—)βŸΆβ„)
1211203adantl3 1169 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ dom (πΉβ€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘—):dom (πΉβ€˜π‘—)βŸΆβ„)
122 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ dom (πΉβ€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑋 ∈ dom (πΉβ€˜π‘—))
123121, 122ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ dom (πΉβ€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
124107, 123eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ dom (πΉβ€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))β€˜π‘—) ∈ ℝ)
12582, 83, 98, 99, 124syl31anc 1374 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))β€˜π‘—) ∈ ℝ)
12631, 30, 81, 125climrecl 15471 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) ∈ ℝ)
12742, 126eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) ∈ ℝ)
1281273exp 1120 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) ∈ ℝ)))
12917, 18, 128rexlimd 3248 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 𝑋 ∈ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) ∈ ℝ))
13016, 129mpd 15 1 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆͺ ciun 4955  βˆ© ciin 4956   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768   ⇝ cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  fnlimfvre2  44004  fnlimf  44005  smflimlem4  45101  smflim  45104
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