MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzmhm2 19247
Description: Centralizers in a monoid are preserved by monoid homomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzmhm.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
cntzmhm.y ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
cntzmhm2 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ (๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡)))

Proof of Theorem cntzmhm2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzmhm.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
2 cntzmhm.y . . . . 5 ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
31, 2cntzmhm 19246 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡)))
43ralrimiva 3146 . . 3 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘‡)(๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡)))
5 ssralv 4050 . . 3 (๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘‡)(๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡))))
64, 5mpan9 507 . 2 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡)))
7 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
97, 8mhmf 18711 . . . . 5 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
109adantr 481 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ ๐น:(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
1110ffund 6721 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ Fun ๐น)
12 simpr 485 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡))
137, 1cntzssv 19233 . . . . 5 (๐‘โ€˜๐‘‡) โŠ† (Baseโ€˜๐บ)
1412, 13sstrdi 3994 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
1510fdmd 6728 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ dom ๐น = (Baseโ€˜๐บ))
1614, 15sseqtrrd 4023 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ ๐‘† โŠ† dom ๐น)
17 funimass4 6956 . . 3 ((Fun ๐น โˆง ๐‘† โŠ† dom ๐น) โ†’ ((๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡))))
1811, 16, 17syl2anc 584 . 2 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ ((๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡))))
196, 18mpbird 256 1 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘† โŠ† (๐‘โ€˜๐‘‡)) โ†’ (๐น โ€œ ๐‘†) โŠ† (๐‘Œโ€˜(๐น โ€œ ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   โŠ† wss 3948  dom cdm 5676   โ€œ cima 5679  Fun wfun 6537  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   MndHom cmhm 18703  Cntzccntz 19220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-mhm 18705  df-cntz 19222
This theorem is referenced by:  gsumzmhm  19846  gsumzinv  19854
  Copyright terms: Public domain W3C validator