Theorem gsumzinv 19882

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzinv.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzinv.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsumzinv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumzinv.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzinv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzinv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzinv.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzinv.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
5		gsumzinv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	grpmndd 18885	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
7		gsumzinv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsumzinv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
9	1, 8	grpinvf 18925	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
11		gsumzinv.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		fco 6715	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
14	4, 8	invoppggim 19299	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)))
15		gimghm 19203	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)))
16		ghmmhm 19165	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
17	5, 14, 15, 16	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
18		gsumzinv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
19		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘(oppg‘𝐺)) = (Cntz‘(oppg‘𝐺))
20	3, 19	cntzmhm2 19281	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
22		rnco2 6229	. . . 4 ⊢ ran (𝐼 ∘ 𝐹) = (𝐼 “ ran 𝐹)
23	22	fveq2i 6864	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹))
24	4, 3	oppgcntz 19303	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
25	23, 24	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
26	21, 22, 25	3sstr4g 4003	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐼 ∘ 𝐹) ⊆ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)))
27	2	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
29	1	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
31		gsumzinv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
32	2, 8	grpinvid 18938	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
33	5, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
34	28, 11, 10, 7, 30, 31, 33	fsuppco2 9361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹) finSupp 0 )
35	1, 2, 3, 4, 6, 7, 13, 26, 34	gsumzoppg 19881	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)))
36	4	oppgmnd 19293	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
37	6, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
38	1, 3, 6, 37, 7, 17, 11, 18, 2, 31	gsumzmhm 19874	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
39	35, 38	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ran crn 5642   “ cima 5644   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   finSupp cfsupp 9319  Basecbs 17186  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  Mndcmnd 18668   MndHom cmhm 18715  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873   GrpHom cghm 19151   GrpIso cgim 19196  Cntzccntz 19254  opp_gcoppg 19284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-cmn 19719

This theorem is referenced by:  dprdfinv  19958