Theorem gsumzinv 18552

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzinv.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzinv.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsumzinv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumzinv.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzinv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzinv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzinv.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzinv.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2771	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
5		gsumzinv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		grpmnd 17637	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumzinv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumzinv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
10	1, 9	grpinvf 17674	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
11	5, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
12		gsumzinv.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
13		fco 6199	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
14	11, 12, 13	syl2anc 573	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
15	4, 9	invoppggim 17997	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)))
16		gimghm 17914	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)))
17		ghmmhm 17878	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
18	5, 15, 16, 17	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
19		gsumzinv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
20		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘(oppg‘𝐺)) = (Cntz‘(oppg‘𝐺))
21	3, 20	cntzmhm2 17979	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
22	18, 19, 21	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
23		rnco2 5785	. . . 4 ⊢ ran (𝐼 ∘ 𝐹) = (𝐼 “ ran 𝐹)
24	23	fveq2i 6336	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹))
25	4, 3	oppgcntz 18001	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
26	24, 25	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
27	22, 23, 26	3sstr4g 3795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐼 ∘ 𝐹) ⊆ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)))
28	2	fvexi 6345	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
30	1	fvexi 6345	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
32		gsumzinv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
33	2, 9	grpinvid 17684	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
34	5, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
35	29, 12, 11, 8, 31, 32, 34	fsuppco2 8468	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹) finSupp 0 )
36	1, 2, 3, 4, 7, 8, 14, 27, 35	gsumzoppg 18551	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)))
37	4	oppgmnd 17991	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
38	7, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
39	1, 3, 7, 38, 8, 18, 12, 19, 2, 32	gsumzmhm 18544	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
40	36, 39	eqtr3d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4787  ran crn 5251   “ cima 5253   ∘ ccom 5254  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   finSupp cfsupp 8435  Basecbs 16064  0_gc0g 16308   Σ_g cgsu 16309  Mndcmnd 17502   MndHom cmhm 17541  Grpcgrp 17630  inv_gcminusg 17631   GrpHom cghm 17865   GrpIso cgim 17907  Cntzccntz 17955  opp_gcoppg 17982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-cmn 18402

This theorem is referenced by:  dprdfinv  18626