Theorem gsumzinv 19914

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzinv.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzinv.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsumzinv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumzinv.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzinv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzinv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzinv.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzinv.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
5		gsumzinv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	grpmndd 18916	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
7		gsumzinv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsumzinv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
9	1, 8	grpinvf 18956	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
11		gsumzinv.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		fco 6687	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
14	4, 8	invoppggim 19329	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)))
15		gimghm 19233	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)))
16		ghmmhm 19195	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
17	5, 14, 15, 16	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
18		gsumzinv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘(oppg‘𝐺)) = (Cntz‘(oppg‘𝐺))
20	3, 19	cntzmhm2 19311	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
21	17, 18, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
22		rnco2 6213	. . . 4 ⊢ ran (𝐼 ∘ 𝐹) = (𝐼 “ ran 𝐹)
23	22	fveq2i 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹))
24	4, 3	oppgcntz 19333	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
25	23, 24	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
26	21, 22, 25	3sstr4g 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐼 ∘ 𝐹) ⊆ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)))
27	2	fvexi 6849	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
29	1	fvexi 6849	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
31		gsumzinv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
32	2, 8	grpinvid 18969	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
33	5, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
34	28, 11, 10, 7, 30, 31, 33	fsuppco2 9310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹) finSupp 0 )
35	1, 2, 3, 4, 6, 7, 13, 26, 34	gsumzoppg 19913	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)))
36	4	oppgmnd 19323	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
37	6, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
38	1, 3, 6, 37, 7, 17, 11, 18, 2, 31	gsumzmhm 19906	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
39	35, 38	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ran crn 5626   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   finSupp cfsupp 9268  Basecbs 17173  0_gc0g 17396   Σ_g cgsu 17397  Mndcmnd 18696   MndHom cmhm 18743  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904   GrpHom cghm 19181   GrpIso cgim 19226  Cntzccntz 19284  opp_gcoppg 19314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-ghm 19182  df-gim 19228  df-cntz 19286  df-oppg 19315  df-cmn 19751

This theorem is referenced by:  dprdfinv  19990