MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzinv 19197
Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzinv.0 0 = (0g𝐺)
gsumzinv.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
gsumzinv.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzinv.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzinv.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzinv.n (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzinv (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv
StepHypRef Expression
1 gsumzinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzinv.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumzinv.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 eqid 2739 . . 3 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
5 gsumzinv.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
65grpmndd 18244 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumzinv.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 gsumzinv.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
91, 8grpinvf 18281 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:𝐵𝐵)
105, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝐼:𝐵𝐵)
11 gsumzinv.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
12 fco 6539 . . . 4 ((𝐼:𝐵𝐵𝐹:𝐴𝐵) → (𝐼𝐹):𝐴𝐵)
1310, 11, 12syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹):𝐴𝐵)
144, 8invoppggim 18619 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)))
15 gimghm 18535 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)))
16 ghmmhm 18499 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
175, 14, 15, 164syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
18 gsumzinv.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
19 eqid 2739 . . . . . 6 (Cntz‘(oppg𝐺)) = (Cntz‘(oppg𝐺))
203, 19cntzmhm2 18601 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
2117, 18, 20syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
22 rnco2 6096 . . . 4 ran (𝐼𝐹) = (𝐼 “ ran 𝐹)
2322fveq2i 6690 . . . . 5 (𝑍‘ran (𝐼𝐹)) = (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹))
244, 3oppgcntz 18623 . . . . 5 (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
2523, 24eqtri 2762 . . . 4 (𝑍‘ran (𝐼𝐹)) = ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
2621, 22, 253sstr4g 3932 . . 3 (𝜑 → ran (𝐼𝐹) ⊆ (𝑍‘ran (𝐼𝐹)))
272fvexi 6701 . . . . 5 0 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
291fvexi 6701 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
31 gsumzinv.n . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
322, 8grpinvid 18291 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼0 ) = 0 )
335, 32syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼0 ) = 0 )
3428, 11, 10, 7, 30, 31, 33fsuppco2 8953 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹) finSupp 0 )
351, 2, 3, 4, 6, 7, 13, 26, 34gsumzoppg 19196 . 2 (𝜑 → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝐹)) = (𝐺 Σg (𝐼𝐹)))
364oppgmnd 18613 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
376, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
381, 3, 6, 37, 7, 17, 11, 18, 2, 31gsumzmhm 19189 . 2 (𝜑 → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
3935, 38eqtr3d 2776 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3400  wss 3853   class class class wbr 5040  ran crn 5536  cima 5538  ccom 5539  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183   finSupp cfsupp 8919  Basecbs 16599  0gc0g 16829   Σg cgsu 16830  Mndcmnd 18040   MndHom cmhm 18083  Grpcgrp 18232  invgcminusg 18233   GrpHom cghm 18486   GrpIso cgim 18528  Cntzccntz 18576  oppgcoppg 18604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-tpos 7934  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-ghm 18487  df-gim 18530  df-cntz 18578  df-oppg 18605  df-cmn 19039
This theorem is referenced by:  dprdfinv  19273
  Copyright terms: Public domain W3C validator