Theorem gsumzinv 19986

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzinv.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzinv.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsumzinv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumzinv.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzinv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzinv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzinv.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzinv.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
5		gsumzinv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	grpmndd 18989	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
7		gsumzinv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsumzinv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
9	1, 8	grpinvf 19029	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
11		gsumzinv.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		fco 6717	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
13	10, 11, 12	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
14	4, 8	invoppggim 19401	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)))
15		gimghm 19305	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)))
16		ghmmhm 19267	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
17	5, 14, 15, 16	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
18		gsumzinv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
19		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘(oppg‘𝐺)) = (Cntz‘(oppg‘𝐺))
20	3, 19	cntzmhm2 19383	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
21	17, 18, 20	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
22		rnco2 6242	. . . 4 ⊢ ran (𝐼 ∘ 𝐹) = (𝐼 “ ran 𝐹)
23	22	fveq2i 6871	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹))
24	4, 3	oppgcntz 19405	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
25	23, 24	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
26	21, 22, 25	3sstr4g 3990	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐼 ∘ 𝐹) ⊆ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)))
27	2	fvexi 6882	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
29	1	fvexi 6882	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
31		gsumzinv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
32	2, 8	grpinvid 19042	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
33	5, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
34	28, 11, 10, 7, 30, 31, 33	fsuppco2 9350	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹) finSupp 0 )
35	1, 2, 3, 4, 6, 7, 13, 26, 34	gsumzoppg 19985	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)))
36	4	oppgmnd 19395	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
37	6, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
38	1, 3, 6, 37, 7, 17, 11, 18, 2, 31	gsumzmhm 19978	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
39	35, 38	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101  ran crn 5649   “ cima 5651   ∘ ccom 5652  ⟶wf 6518  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   finSupp cfsupp 9308  Basecbs 17246  0_gc0g 17469   Σ_g cgsu 17470  Mndcmnd 18769   MndHom cmhm 18816  Grpcgrp 18976  inv_gcminusg 18977   GrpHom cghm 19254   GrpIso cgim 19298  Cntzccntz 19356  opp_gcoppg 19386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-hash 14345  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-ghm 19255  df-gim 19300  df-cntz 19358  df-oppg 19387  df-cmn 19823

This theorem is referenced by:  dprdfinv  20062