Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzinv 19059
 Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzinv.0 0 = (0g𝐺)
gsumzinv.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
gsumzinv.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzinv.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzinv.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzinv.n (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzinv (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv
StepHypRef Expression
1 gsumzinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzinv.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumzinv.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 eqid 2821 . . 3 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
5 gsumzinv.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
6 grpmnd 18104 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumzinv.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumzinv.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
101, 9grpinvf 18144 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:𝐵𝐵)
115, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐼:𝐵𝐵)
12 gsumzinv.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
13 fco 6526 . . . 4 ((𝐼:𝐵𝐵𝐹:𝐴𝐵) → (𝐼𝐹):𝐴𝐵)
1411, 12, 13syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹):𝐴𝐵)
154, 9invoppggim 18482 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)))
16 gimghm 18398 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)))
17 ghmmhm 18362 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
185, 15, 16, 174syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
19 gsumzinv.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
20 eqid 2821 . . . . . 6 (Cntz‘(oppg𝐺)) = (Cntz‘(oppg𝐺))
213, 20cntzmhm2 18464 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
2218, 19, 21syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
23 rnco2 6101 . . . 4 ran (𝐼𝐹) = (𝐼 “ ran 𝐹)
2423fveq2i 6668 . . . . 5 (𝑍‘ran (𝐼𝐹)) = (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹))
254, 3oppgcntz 18486 . . . . 5 (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
2624, 25eqtri 2844 . . . 4 (𝑍‘ran (𝐼𝐹)) = ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
2722, 23, 263sstr4g 4012 . . 3 (𝜑 → ran (𝐼𝐹) ⊆ (𝑍‘ran (𝐼𝐹)))
282fvexi 6679 . . . . 5 0 ∈ V
2928a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
301fvexi 6679 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3130a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
32 gsumzinv.n . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
332, 9grpinvid 18154 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼0 ) = 0 )
345, 33syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼0 ) = 0 )
3529, 12, 11, 8, 31, 32, 34fsuppco2 8860 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹) finSupp 0 )
361, 2, 3, 4, 7, 8, 14, 27, 35gsumzoppg 19058 . 2 (𝜑 → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝐹)) = (𝐺 Σg (𝐼𝐹)))
374oppgmnd 18476 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
387, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
391, 3, 7, 38, 8, 18, 12, 19, 2, 32gsumzmhm 19051 . 2 (𝜑 → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
4036, 39eqtr3d 2858 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5059  ran crn 5551   “ cima 5553   ∘ ccom 5554  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   finSupp cfsupp 8827  Basecbs 16477  0gc0g 16707   Σg cgsu 16708  Mndcmnd 17905   MndHom cmhm 17948  Grpcgrp 18097  invgcminusg 18098   GrpHom cghm 18349   GrpIso cgim 18391  Cntzccntz 18439  oppgcoppg 18467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-ghm 18350  df-gim 18393  df-cntz 18441  df-oppg 18468  df-cmn 18902 This theorem is referenced by:  dprdfinv  19135
 Copyright terms: Public domain W3C validator