Theorem gsumzinv 19064

Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzinv.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzinv.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
gsumzinv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumzinv.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzinv.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzinv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzinv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzinv.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzinv.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (oppg‘𝐺) = (oppg‘𝐺)
5		gsumzinv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
6		grpmnd 18109	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumzinv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumzinv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
10	1, 9	grpinvf 18149	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
11	5, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐵)
12		gsumzinv.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
13		fco 6530	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
14	11, 12, 13	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
15	4, 9	invoppggim 18487	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)))
16		gimghm 18403	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)))
17		ghmmhm 18367	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg‘𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
18	5, 15, 16, 17	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)))
19		gsumzinv.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
20		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘(oppg‘𝐺)) = (Cntz‘(oppg‘𝐺))
21	3, 20	cntzmhm2 18469	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg‘𝐺)) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
22	18, 19, 21	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
23		rnco2 6105	. . . 4 ⊢ ran (𝐼 ∘ 𝐹) = (𝐼 “ ran 𝐹)
24	23	fveq2i 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹))
25	4, 3	oppgcntz 18491	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
26	24, 25	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg‘𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
27	22, 23, 26	3sstr4g 4011	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐼 ∘ 𝐹) ⊆ (𝑍‘ran (𝐼 ∘ 𝐹)))
28	2	fvexi 6683	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
30	1	fvexi 6683	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
32		gsumzinv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
33	2, 9	grpinvid 18159	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
34	5, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘ 0 ) = 0 )
35	29, 12, 11, 8, 31, 32, 34	fsuppco2 8865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∘ 𝐹) finSupp 0 )
36	1, 2, 3, 4, 7, 8, 14, 27, 35	gsumzoppg 19063	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)))
37	4	oppgmnd 18481	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
38	7, 37	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝐺) ∈ Mnd)
39	1, 3, 7, 38, 8, 18, 12, 19, 2, 32	gsumzmhm 19056	. 2 ⊢ (𝜑 → ((oppg‘𝐺) Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
40	36, 39	eqtr3d 2858	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065  ran crn 5555   “ cima 5557   ∘ ccom 5558  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   finSupp cfsupp 8832  Basecbs 16482  0_gc0g 16712   Σ_g cgsu 16713  Mndcmnd 17910   MndHom cmhm 17953  Grpcgrp 18102  inv_gcminusg 18103   GrpHom cghm 18354   GrpIso cgim 18396  Cntzccntz 18444  opp_gcoppg 18472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-ghm 18355  df-gim 18398  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-cmn 18907

This theorem is referenced by:  dprdfinv  19140