MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzinv 19914
Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzinv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzinv.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzinv.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzinv.i 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
gsumzinv.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzinv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumzinv.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzinv.n (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzinv (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)) = (πΌβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv
StepHypRef Expression
1 gsumzinv.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzinv.0 . . 3 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumzinv.z . . 3 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4 eqid 2728 . . 3 (oppgβ€˜πΊ) = (oppgβ€˜πΊ)
5 gsumzinv.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
65grpmndd 18917 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumzinv.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8 gsumzinv.i . . . . . 6 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
91, 8grpinvf 18957 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐼:𝐡⟢𝐡)
105, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝐡⟢𝐡)
11 gsumzinv.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
12 fco 6752 . . . 4 ((𝐼:𝐡⟢𝐡 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟢𝐡)
1310, 11, 12syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟢𝐡)
144, 8invoppggim 19328 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppgβ€˜πΊ)))
15 gimghm 19232 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppgβ€˜πΊ)) β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppgβ€˜πΊ)))
16 ghmmhm 19194 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppgβ€˜πΊ)) β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppgβ€˜πΊ)))
175, 14, 15, 164syl 19 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppgβ€˜πΊ)))
18 gsumzinv.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
19 eqid 2728 . . . . . 6 (Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ)) = (Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
203, 19cntzmhm2 19307 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppgβ€˜πΊ)) ∧ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹)) β†’ (𝐼 β€œ ran 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹)))
2117, 18, 20syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 β€œ ran 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹)))
22 rnco2 6262 . . . 4 ran (𝐼 ∘ 𝐹) = (𝐼 β€œ ran 𝐹)
2322fveq2i 6905 . . . . 5 (π‘β€˜ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = (π‘β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹))
244, 3oppgcntz 19332 . . . . 5 (π‘β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹)) = ((Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹))
2523, 24eqtri 2756 . . . 4 (π‘β€˜ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = ((Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹))
2621, 22, 253sstr4g 4027 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐼 ∘ 𝐹) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐼 ∘ 𝐹)))
272fvexi 6916 . . . . 5 0 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
291fvexi 6916 . . . . 5 𝐡 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
31 gsumzinv.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
322, 8grpinvid 18970 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (πΌβ€˜ 0 ) = 0 )
335, 32syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜ 0 ) = 0 )
3428, 11, 10, 7, 30, 31, 33fsuppco2 9436 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∘ 𝐹) finSupp 0 )
351, 2, 3, 4, 6, 7, 13, 26, 34gsumzoppg 19913 . 2 (πœ‘ β†’ ((oppgβ€˜πΊ) Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐺 Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)))
364oppgmnd 19322 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ Mnd)
376, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ Mnd)
381, 3, 6, 37, 7, 17, 11, 18, 2, 31gsumzmhm 19906 . 2 (πœ‘ β†’ ((oppgβ€˜πΊ) Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)) = (πΌβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
3935, 38eqtr3d 2770 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)) = (πΌβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  ran crn 5683   β€œ cima 5685   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   finSupp cfsupp 9395  Basecbs 17189  0gc0g 17430   Ξ£g cgsu 17431  Mndcmnd 18703   MndHom cmhm 18747  Grpcgrp 18904  invgcminusg 18905   GrpHom cghm 19181   GrpIso cgim 19225  Cntzccntz 19280  oppgcoppg 19310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-ghm 19182  df-gim 19227  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-cmn 19751
This theorem is referenced by:  dprdfinv  19990
  Copyright terms: Public domain W3C validator