MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzinv 19865
Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzinv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzinv.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzinv.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzinv.i 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
gsumzinv.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzinv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumzinv.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzinv.n (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzinv (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)) = (πΌβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv
StepHypRef Expression
1 gsumzinv.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzinv.0 . . 3 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumzinv.z . . 3 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4 eqid 2726 . . 3 (oppgβ€˜πΊ) = (oppgβ€˜πΊ)
5 gsumzinv.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
65grpmndd 18876 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumzinv.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
8 gsumzinv.i . . . . . 6 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
91, 8grpinvf 18916 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐼:𝐡⟢𝐡)
105, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝐡⟢𝐡)
11 gsumzinv.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
12 fco 6735 . . . 4 ((𝐼:𝐡⟢𝐡 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟢𝐡)
1310, 11, 12syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∘ 𝐹):𝐴⟢𝐡)
144, 8invoppggim 19279 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppgβ€˜πΊ)))
15 gimghm 19189 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppgβ€˜πΊ)) β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppgβ€˜πΊ)))
16 ghmmhm 19151 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppgβ€˜πΊ)) β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppgβ€˜πΊ)))
175, 14, 15, 164syl 19 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppgβ€˜πΊ)))
18 gsumzinv.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
19 eqid 2726 . . . . . 6 (Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ)) = (Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))
203, 19cntzmhm2 19258 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppgβ€˜πΊ)) ∧ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹)) β†’ (𝐼 β€œ ran 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹)))
2117, 18, 20syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 β€œ ran 𝐹) βŠ† ((Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹)))
22 rnco2 6246 . . . 4 ran (𝐼 ∘ 𝐹) = (𝐼 β€œ ran 𝐹)
2322fveq2i 6888 . . . . 5 (π‘β€˜ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = (π‘β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹))
244, 3oppgcntz 19283 . . . . 5 (π‘β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹)) = ((Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹))
2523, 24eqtri 2754 . . . 4 (π‘β€˜ran (𝐼 ∘ 𝐹)) = ((Cntzβ€˜(oppgβ€˜πΊ))β€˜(𝐼 β€œ ran 𝐹))
2621, 22, 253sstr4g 4022 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐼 ∘ 𝐹) βŠ† (π‘β€˜ran (𝐼 ∘ 𝐹)))
272fvexi 6899 . . . . 5 0 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
291fvexi 6899 . . . . 5 𝐡 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
31 gsumzinv.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
322, 8grpinvid 18929 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (πΌβ€˜ 0 ) = 0 )
335, 32syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜ 0 ) = 0 )
3428, 11, 10, 7, 30, 31, 33fsuppco2 9400 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∘ 𝐹) finSupp 0 )
351, 2, 3, 4, 6, 7, 13, 26, 34gsumzoppg 19864 . 2 (πœ‘ β†’ ((oppgβ€˜πΊ) Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)) = (𝐺 Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)))
364oppgmnd 19273 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ Mnd)
376, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (oppgβ€˜πΊ) ∈ Mnd)
381, 3, 6, 37, 7, 17, 11, 18, 2, 31gsumzmhm 19857 . 2 (πœ‘ β†’ ((oppgβ€˜πΊ) Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)) = (πΌβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
3935, 38eqtr3d 2768 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐼 ∘ 𝐹)) = (πΌβ€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  ran crn 5670   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864   GrpHom cghm 19138   GrpIso cgim 19182  Cntzccntz 19231  oppgcoppg 19261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-cmn 19702
This theorem is referenced by:  dprdfinv  19941
  Copyright terms: Public domain W3C validator