MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzinv 19907
Description: Inverse of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzinv.0 0 = (0g𝐺)
gsumzinv.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzinv.i 𝐼 = (invg𝐺)
gsumzinv.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
gsumzinv.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzinv.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzinv.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzinv.n (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzinv (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))

Proof of Theorem gsumzinv
StepHypRef Expression
1 gsumzinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzinv.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumzinv.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 eqid 2728 . . 3 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
5 gsumzinv.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
65grpmndd 18910 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
7 gsumzinv.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 gsumzinv.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
91, 8grpinvf 18950 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼:𝐵𝐵)
105, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝐼:𝐵𝐵)
11 gsumzinv.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
12 fco 6752 . . . 4 ((𝐼:𝐵𝐵𝐹:𝐴𝐵) → (𝐼𝐹):𝐴𝐵)
1310, 11, 12syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹):𝐴𝐵)
144, 8invoppggim 19321 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)))
15 gimghm 19225 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpIso (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)))
16 ghmmhm 19187 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom (oppg𝐺)) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
175, 14, 15, 164syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)))
18 gsumzinv.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
19 eqid 2728 . . . . . 6 (Cntz‘(oppg𝐺)) = (Cntz‘(oppg𝐺))
203, 19cntzmhm2 19300 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (𝐺 MndHom (oppg𝐺)) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹)) → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
2117, 18, 20syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 “ ran 𝐹) ⊆ ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹)))
22 rnco2 6262 . . . 4 ran (𝐼𝐹) = (𝐼 “ ran 𝐹)
2322fveq2i 6905 . . . . 5 (𝑍‘ran (𝐼𝐹)) = (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹))
244, 3oppgcntz 19325 . . . . 5 (𝑍‘(𝐼 “ ran 𝐹)) = ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
2523, 24eqtri 2756 . . . 4 (𝑍‘ran (𝐼𝐹)) = ((Cntz‘(oppg𝐺))‘(𝐼 “ ran 𝐹))
2621, 22, 253sstr4g 4027 . . 3 (𝜑 → ran (𝐼𝐹) ⊆ (𝑍‘ran (𝐼𝐹)))
272fvexi 6916 . . . . 5 0 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
291fvexi 6916 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
31 gsumzinv.n . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
322, 8grpinvid 18963 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼0 ) = 0 )
335, 32syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼0 ) = 0 )
3428, 11, 10, 7, 30, 31, 33fsuppco2 9434 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝐹) finSupp 0 )
351, 2, 3, 4, 6, 7, 13, 26, 34gsumzoppg 19906 . 2 (𝜑 → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝐹)) = (𝐺 Σg (𝐼𝐹)))
364oppgmnd 19315 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
376, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ Mnd)
381, 3, 6, 37, 7, 17, 11, 18, 2, 31gsumzmhm 19899 . 2 (𝜑 → ((oppg𝐺) Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
3935, 38eqtr3d 2770 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐼𝐹)) = (𝐼‘(𝐺 Σg 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  wss 3949   class class class wbr 5152  ran crn 5683  cima 5685  ccom 5686  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426   finSupp cfsupp 9393  Basecbs 17187  0gc0g 17428   Σg cgsu 17429  Mndcmnd 18701   MndHom cmhm 18745  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898   GrpHom cghm 19174   GrpIso cgim 19218  Cntzccntz 19273  oppgcoppg 19303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-cmn 19744
This theorem is referenced by:  dprdfinv  19983
  Copyright terms: Public domain W3C validator