MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntrsubgnsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntrsubgnsg 19207
Description: A central subgroup is normal. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cntrnsg.z ๐‘ = (Cntrโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntrsubgnsg ((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐‘€))

Proof of Theorem cntrsubgnsg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€))
2 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โŠ† ๐‘)
3 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)
42, 3sseldd 3984 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘€) = (Baseโ€˜๐‘€)
6 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Cntzโ€˜๐‘€) = (Cntzโ€˜๐‘€)
75, 6cntrval 19183 . . . . . . . . 9 ((Cntzโ€˜๐‘€)โ€˜(Baseโ€˜๐‘€)) = (Cntrโ€˜๐‘€)
8 cntrnsg.z . . . . . . . . 9 ๐‘ = (Cntrโ€˜๐‘€)
97, 8eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 ((Cntzโ€˜๐‘€)โ€˜(Baseโ€˜๐‘€)) = ๐‘
104, 9eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘€)โ€˜(Baseโ€˜๐‘€)))
11 simprl 770 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€))
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
1312, 6cntzi 19193 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘€)โ€˜(Baseโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
1410, 11, 13syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
1514oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)(-gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)(-gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ))
16 subgrcl 19011 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Grp)
1716ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Grp)
185subgss 19007 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘‹ โŠ† (Baseโ€˜๐‘€))
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โŠ† (Baseโ€˜๐‘€))
2019, 3sseldd 3984 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€))
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (-gโ€˜๐‘€) = (-gโ€˜๐‘€)
225, 12, 21grppncan 18914 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)(-gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)
2317, 20, 11, 22syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)(-gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)
2415, 23eqtr3d 2775 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)(-gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)
2524, 3eqeltrd 2834 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)(-gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‹)
2625ralrimivva 3201 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)(-gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‹)
275, 12, 21isnsg3 19040 . 2 (๐‘‹ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐‘€) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)(-gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‹))
281, 26, 27sylanbrc 584 1 ((๐‘‹ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€) โˆง ๐‘‹ โŠ† ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   โŠ† wss 3949  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000  NrmSGrpcnsg 19001  Cntzccntz 19179  Cntrccntr 19180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-cntz 19181  df-cntr 19182
This theorem is referenced by:  cntrnsg  19208
  Copyright terms: Public domain W3C validator