MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgcntz 18000
Description: A centralizer in a group is the same as the centralizer in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
oppgcntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgcntz (𝑍𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Proof of Theorem oppgcntz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2778 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 oppggic.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (oppg𝐺)
4 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (+g𝑂) = (+g𝑂)
52, 3, 4oppgplus 17985 . . . . . . . 8 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)
62, 3, 4oppgplus 17985 . . . . . . . 8 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑦)
75, 6eqeq12i 2785 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
81, 7bitr4i 267 . . . . . 6 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))
98ralbii 3129 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))
109anbi2i 601 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥)))
1110anbi2i 601 . . 3 ((𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))))
12 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13 oppgcntz.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1412, 13cntzrcl 17966 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
1514simprd 477 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
1612, 2, 13elcntz 17961 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
1715, 16biadan2 802 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
183, 12oppgbas 17987 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19 eqid 2771 . . . . . 6 (Cntz‘𝑂) = (Cntz‘𝑂)
2018, 19cntzrcl 17966 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
2120simprd 477 . . . 4 (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
2218, 4, 19elcntz 17961 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))))
2321, 22biadan2 802 . . 3 (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))))
2411, 17, 233bitr4i 292 . 2 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴))
2524eqriv 2768 1 (𝑍𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Cntzccntz 17954  oppgcoppg 17981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-cntz 17956  df-oppg 17982
This theorem is referenced by:  oppgcntr  18001  gsumzoppg  18550  gsumzinv  18551
  Copyright terms: Public domain W3C validator