Theorem oppgcntz 18971

Description: A centralizer in a group is the same as the centralizer in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
oppgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgcntz	⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Proof of Theorem oppgcntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
2		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		oppggic.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 18953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
6	2, 3, 4	oppgplus 18953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)
7	5, 6	eqeq12i 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
8	1, 7	bitr4i 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
9	8	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
10	9	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥)))
11	10	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13		oppgcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14	12, 13	cntzrcl 18933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
15	14	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
16	12, 2, 13	elcntz 18928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
17	15, 16	biadanii 819	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
18	3, 12	oppgbas 18956	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑂) = (Cntz‘𝑂)
20	18, 19	cntzrcl 18933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
21	20	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
22	18, 4, 19	elcntz 18928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
23	21, 22	biadanii 819	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
24	11, 17, 23	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴))
25	24	eqriv 2735	1 ⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Cntzccntz 18921  opp_gcoppg 18949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-cntz 18923  df-oppg 18950

This theorem is referenced by:  oppgcntr  18972  gsumzoppg  19545  gsumzinv  19546