MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgcntz 18756
Description: A centralizer in a group is the same as the centralizer in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
oppgcntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgcntz (𝑍𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Proof of Theorem oppgcntz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2744 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 oppggic.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (oppg𝐺)
4 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+g𝑂) = (+g𝑂)
52, 3, 4oppgplus 18741 . . . . . . . 8 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)
62, 3, 4oppgplus 18741 . . . . . . . 8 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑦)
75, 6eqeq12i 2755 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
81, 7bitr4i 281 . . . . . 6 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))
98ralbii 3088 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))
109anbi2i 626 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥)))
1110anbi2i 626 . . 3 ((𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13 oppgcntz.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1412, 13cntzrcl 18721 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
1514simprd 499 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
1612, 2, 13elcntz 18716 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
1715, 16biadanii 822 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
183, 12oppgbas 18743 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19 eqid 2737 . . . . . 6 (Cntz‘𝑂) = (Cntz‘𝑂)
2018, 19cntzrcl 18721 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
2120simprd 499 . . . 4 (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
2218, 4, 19elcntz 18716 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))))
2321, 22biadanii 822 . . 3 (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))))
2411, 17, 233bitr4i 306 . 2 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴))
2524eqriv 2734 1 (𝑍𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  Vcvv 3408  wss 3866  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Cntzccntz 18709  oppgcoppg 18737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-cntz 18711  df-oppg 18738
This theorem is referenced by:  oppgcntr  18757  gsumzoppg  19329  gsumzinv  19330
  Copyright terms: Public domain W3C validator