Theorem oppgcntz 19398

Description: A centralizer in a group is the same as the centralizer in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
oppgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgcntz	⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Proof of Theorem oppgcntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
2		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		oppggic.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 19380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
6	2, 3, 4	oppgplus 19380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)
7	5, 6	eqeq12i 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
8	1, 7	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
9	8	ralbii 3091	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
10	9	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥)))
11	10	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
12		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13		oppgcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14	12, 13	cntzrcl 19358	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
15	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
16	12, 2, 13	elcntz 19353	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
17	15, 16	biadanii 822	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
18	3, 12	oppgbas 19383	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑂) = (Cntz‘𝑂)
20	18, 19	cntzrcl 19358	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
21	20	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
22	18, 4, 19	elcntz 19353	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
23	21, 22	biadanii 822	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
24	11, 17, 23	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴))
25	24	eqriv 2732	1 ⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Cntzccntz 19346  opp_gcoppg 19376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-cntz 19348  df-oppg 19377

This theorem is referenced by:  oppgcntr  19399  gsumzoppg  19977  gsumzinv  19978