MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgcntz 19332
Description: A centralizer in a group is the same as the centralizer in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppggic.o ๐‘‚ = (oppgโ€˜๐บ)
oppgcntz.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
oppgcntz (๐‘โ€˜๐ด) = ((Cntzโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ด)

Proof of Theorem oppgcntz
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2735 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ))
2 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
3 oppggic.o . . . . . . . . 9 ๐‘‚ = (oppgโ€˜๐บ)
4 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (+gโ€˜๐‘‚) = (+gโ€˜๐‘‚)
52, 3, 4oppgplus 19314 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)
62, 3, 4oppgplus 19314 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)
75, 6eqeq12i 2746 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ))
81, 7bitr4i 277 . . . . . 6 ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฅ))
98ralbii 3090 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฅ))
109anbi2i 621 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฅ)))
1110anbi2i 621 . . 3 ((๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) โ†” (๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฅ))))
12 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
13 oppgcntz.z . . . . . 6 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
1412, 13cntzrcl 19292 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐ด) โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ)))
1514simprd 494 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐ด) โ†’ ๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ))
1612, 2, 13elcntz 19287 . . . 4 (๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
1715, 16biadanii 820 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐ด) โ†” (๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
183, 12oppgbas 19317 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐‘‚)
19 eqid 2728 . . . . . 6 (Cntzโ€˜๐‘‚) = (Cntzโ€˜๐‘‚)
2018, 19cntzrcl 19292 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ด) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ)))
2120simprd 494 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ด) โ†’ ๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ))
2218, 4, 19elcntz 19287 . . . 4 (๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฅ))))
2321, 22biadanii 820 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ด) โ†” (๐ด โІ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘‚)๐‘ฅ))))
2411, 17, 233bitr4i 302 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐ด) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ด))
2524eqriv 2725 1 (๐‘โ€˜๐ด) = ((Cntzโ€˜๐‘‚)โ€˜๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  Vcvv 3473   โІ wss 3949  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Cntzccntz 19280  oppgcoppg 19310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-cntz 19282  df-oppg 19311
This theorem is referenced by:  oppgcntr  19333  gsumzoppg  19913  gsumzinv  19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator