Theorem oppgcntz 19331

Description: A centralizer in a group is the same as the centralizer in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
oppgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgcntz	⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Proof of Theorem oppgcntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
2		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		oppggic.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 19316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
6	2, 3, 4	oppgplus 19316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)
7	5, 6	eqeq12i 2757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
8	1, 7	bitr4i 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
9	8	ralbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
10	9	anbi2i 629	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥)))
11	10	anbi2i 629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
12		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13		oppgcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14	12, 13	cntzrcl 19294	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
15	14	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
16	12, 2, 13	elcntz 19289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
17	15, 16	biadanii 827	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
18	3, 12	oppgbas 19318	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑂) = (Cntz‘𝑂)
20	18, 19	cntzrcl 19294	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
21	20	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
22	18, 4, 19	elcntz 19289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
23	21, 22	biadanii 827	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
24	11, 17, 23	3bitr4i 304	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴))
25	24	eqriv 2736	1 ⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  Cntzccntz 19282  opp_gcoppg 19312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-cntz 19284  df-oppg 19313

This theorem is referenced by:  oppgcntr  19332  gsumzoppg  19911  gsumzinv  19912