Theorem oppgcntz 19483

Description: A centralizer in a group is the same as the centralizer in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppggic.o	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
oppgcntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgcntz	⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Proof of Theorem oppgcntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
2		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		oppggic.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
4		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
5	2, 3, 4	oppgplus 19468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)
6	2, 3, 4	oppgplus 19468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)
7	5, 6	eqeq12i 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
8	1, 7	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
9	8	ralbii 3113	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))
10	9	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥)))
11	10	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13		oppgcntz.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14	12, 13	cntzrcl 19446	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
15	14	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
16	12, 2, 13	elcntz 19441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
17	15, 16	biadanii 834	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
18	3, 12	oppgbas 19470	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑂) = (Cntz‘𝑂)
20	18, 19	cntzrcl 19446	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
21	20	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
22	18, 4, 19	elcntz 19441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
23	21, 22	biadanii 834	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑂)𝑥))))
24	11, 17, 23	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴))
25	24	eqriv 2762	1 ⊢ (𝑍‘𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  Basecbs 17296  +_gcplusg 17337  Cntzccntz 19434  opp_gcoppg 19464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-cntz 19436  df-oppg 19465

This theorem is used by:  oppgcntr  19484  gsumzoppg  20063  gsumzinv  20064