Theorem cofcutrtime2d 27937

Description: If 𝑋 is a timely cut of 𝐴 and 𝐵, then ( R ‘𝑋) is coinitial with 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofcutrtimed.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
cofcutrtimed.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cofcutrtimed.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cofcutrtime2d	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑤)

Proof of Theorem cofcutrtime2d

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofcutrtimed.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
2		cofcutrtimed.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
3		cofcutrtimed.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
4		cofcutrtime 27935	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧))
6	5	simprd 495	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   bday cbday 27621   ≤s cles 27724   <<s cslts 27765   |s ccuts 27767   O cold 27831   L cleft 27833   R cright 27834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-les 27725  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-made 27835  df-old 27836  df-left 27838  df-right 27839

This theorem is referenced by: (None)