Theorem cofcutrtime2d 27862

Description: If 𝑋 is a timely cut of 𝐴 and 𝐵, then ( R ‘𝑋) is coinitial with 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofcutrtimed.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
cofcutrtimed.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cofcutrtimed.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cofcutrtime2d	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑤)

Proof of Theorem cofcutrtime2d

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofcutrtimed.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
2		cofcutrtimed.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
3		cofcutrtimed.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
4		cofcutrtime 27860	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧))
6	5	simprd 494	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∪ cun 3939   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413   bday cbday 27588   ≤s csle 27690   <<s csslt 27726   |s cscut 27728   O cold 27783   L cleft 27785   R cright 27786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27589  df-slt 27590  df-bday 27591  df-sle 27691  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-made 27787  df-old 27788  df-left 27790  df-right 27791

This theorem is referenced by: (None)